Der größte gemeinsame Teiler

---

Der größte gemeinsame Teiler – auch als ggT bezeichnet – begegnet dir oft im Zusammenhang mit der Bruchrechnung. Wenn du den ggT von verschiedenen Zahlen kennst, machst du dir das Rechnen leichter und hast einen zeitlichen Vorsprung und damit mehr Zeit für andere Dinge.

Was ist eigentlich der größte gemeinsame Teiler?

 

Vom größten gemeinsamen Teiler sprechen wir, wenn wir die Teiler mehrerer Zahlen vergleichen und dann den größten gemeinsamen Teiler entnehmen. Natürlich wäre es viel zu umständlich, wenn du dir dafür die einzelnen Teiler alle aufschreiben müsstest. Es gibt weitaus effektivere Möglichkeiten. Wir beginnen jedoch zunächst mit der herkömmlichen Methode:

 

Machen wir uns dazu ein Bild von den größten gemeinsamen Teilern der Zahlen 8 und 4. Dazu erstellen wir eine Liste, welche alle Teiler der beiden Zahlen beinhaltet.

 

Teiler von 4	Teiler von 8
1	1
2	2
4	4
-	8

Die Teilbarkeitsregeln

Wie du sehen kannst, haben die Zahlen 4 und 8 den ersten gemeinsamen Teiler 1.

 

Merke dir: Jede Zahl ist durch 1 teilbar.

 

Bei 4 und 8 siehst du du, dass die Zahlen auch jeweils durch sich selbst teilbar sind. Weiterhin: Von 4 ist der letzte und damit größte Teiler die 4 selbst. Gleiches gilt für die 8. Auch sie ist ihr größter eigener Teiler.

 

Merke: Jede Zahl ist selbst ihr eigener größter Teiler.

 

Was stellst du weiterhin fest? Beide Zahlen – 8 und 4 – sind durch 2 teilbar. Woran erkennst du, dass eine Zahl durch 2 teilbar ist?

 

Merke: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist. Eine gerade Zahl erkennst du daran, dass ihre Einer 2, 4, 6, 8 oder 0 lauten. Zahlen, die auf 1, 3, 5, 7 und 9 enden, sind nicht durch 2 teilbar.

 

45 endet auf 5 und ist somit nicht durch 2 teilbar.

37 endet auf 7 und ist nicht durch 2 teilbar.

21 endet auf 1 und ist ebenfalls nicht durch 2 teilbar.

 

44 endet auf 4. Das Teilen durch 2 führt zum Ergebnis 22.

78 endet auf 8. Teilst du durch 2, erhältst du 39.

16 endet auf 6. Nach der Teilung durch 2 bekommst du 8 raus.

 

Wie du in der Tabelle sehen kannst, ist der größte gemeinsame Teiler 4, da 4 durch 4 (=1) und 8 durch 4 (=2) teilbar ist. Neben diesen Zahlen kannst du alle weiteren Zahlen miteinander vergleichen und ihre gemeinsamen Teiler überprüfen. So findest du den größten gemeinsamen Teiler.

 

Merke: Wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, erkennst du das an ihrer Quersumme. Was ist eine Quersumme? Besteht eine Zahl aus mehreren Ziffern – beispielsweise die Zahl 111 – addierst du zum Erhalt der Quersumme die einzelnen Ziffern: 1 + 1 + 1 =3. Ist die erhaltene Zahl (Quersumme) durch 3 teilbar, dann ist es auch die Zahl selbst. Wir stellen fest: 111: 3 = 37.

 

Das Wissen über die Quersumme ist von unschätzbarem Wert. Deshalb solltest du dir die folgenden Quersummen ansehen und dir die Vorgehensweise zum Herausfinden der Quersumme verinnerlichen:

 

398

Quersumme → 3 + 9 + 8 = 20

Die Quersumme 20 ist nicht durch 3 teilbar. Also ist auch 398 nicht durch 3 teilbar.

Der Taschenrechner sagt: 398 : 3 = 132,67 (gerundet). Demnach ist 398 nicht ohne Rest durch 3 teilbar.

 

1024

Quersumme → 1 + 0 + 2 + 4

Addiert erhältst du die Quersumme 7. Auch hier liegt uns eine Zahl vor, die nicht durch 3 teilbar ist, da 7 nicht durch 3 teilbar ist.

Der Taschenrechner sagt: 1024 : 3 = 341,3 (gerundet)

 

828

Quersumme → 8 + 2 + 8

Bilde die Quersumme und du erhältst 8 + 2 + 8 = 18. Hier siehst du eine Zahl, die durch 3 teilbar ist (18 : 3 = 6).

Der Taschenrechner sagt: 828 : 3 = 276

 

Überprüfe das an mehreren Zahlen und checke dein Ergebnis unter Zuhilfenahme deines Taschenrechners ab.

 

Wusstest du, dass du auch herausfinden kannst, ob eine Zahl durch 4 teilbar ist? Das geht ganz einfach! Die Vorgehensweise ist ein wenig anders als bei der Teilbarkeit durch 2 oder 3.

 

Merke: Eine Zahl ist dann ohne Rest durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind:

 

24: 24 : 4 = 6

56: 56 : 4 = 14

92: 92 : 4 = 23

 

Und nun dreistellige Zahlen:

 

54348

Die letzten beiden Zahlen sind durch 4 teilbar, denn 48: 4 = 12. Somit gilt auch für 54348, dass eine Teilung durch 4 ohne Rest möglich ist.

Das Ergebnis des Taschenrechners: 54348 : 3 =18116

 

932

932 ist ebenso durch 4 teilbar, da 32 durch 4 teilbar ist (32 : 4 = 8).

Die Eingabe in den Taschenrechner führt zum Ergebnis 233.

 

779

Diese Zahl gehört nicht zur Reihe der 4, denn die Zahl 779 endet auf 79.

Eine Teilung führt zu: 779 : 4 = 194,75

 

Wie kannst du eine durch 5 teilbare Zahl identifizieren? Eine durch 5 teilbare Zahl liegt dann vor, wenn die ursprüngliche Zahl auf 0 oder 5 endet. Alle anderen Zahlen haben die Zahl 5 nicht als Teiler:

 

65

Bei der 65 handelt es sich um eine durch 5 teilbare Zahl, da 65 auf 5 endet.

Taschenrechner: 65 : 5 = 13

 

100

Auch hierbei sprechen wir von einer durch 5 teilbaren Zahl.

Unser Taschenrechner sagt: 100 : 5 = 20

 

74

Wir erkennen auf den ersten Blick, dass die 74 weder auf 0 noch auf 5 endet. Sie ist demnach nicht durch 5 teilbar.

 

Es geht weiter mit der Zahl 6. Woran siehst du, ob sich eine Zahl durch 6 teilen lässt?

 

Merke: Jede Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gleichermaßen durch 2 und durch 3 teilbar ist.

Wichtig: Durch 6 teilbare Zahlen sind immer gerade – da durch 2 teilbar.

 

Ein Beispiel ist die Zahl 12. Eine Probe zeigt, dass 12 : 2 = 6 und 12 : 3 = 4 ist. Daher muss sie auch durch 6 teilbar sein: 12 : 6 = 2.

 

Wie ist es mit 652?

 

652 : 2 = 326

652 (Quersumme) = 6 + 5 + 2 = 13

Die Zahl 652 ist nicht durch 6 teilbar, da ihre Quersumme nicht durch 3 teilbar ist.

 

708 : 2 = 354

708 (Quersumme) = 7 + 0 + 8 = 15

Wir sehen, dass 708 durch 3 und durch 2 teilbar ist. Also ist auch das Teilen durch 6 ohne Rest möglich:

708 : 6 = 118

 

123456 : 2 = 61728

123456 (Quersumme) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Erneut haben wir es mit einer durch 6 teilbaren Zahl zu tun:

123456 : 6 = 20576

 

Woran erkennen wir eine durch 7 teilbare Zahl?

Das ist etwas komplizierter und lässt sich nicht so einfach darstellen. Trotzdem gibt es auch dazu eine adäquate Regel. Liegt dir eine Zahl vor, konzentrierst du dich auf ihre letzte Ziffer. Multipliziere sie mit zwei. Das Ergebnis ziehst du von deiner eigentlichen Zahl ab und beziehst dabei die letzte Stelle (Einer) nicht mit ein. Deck die letzte Ziffer deiner Ausgangszahl also ab und subtrahiere von der restlichen Zahl die errechnete Zahl erneut. Decke nun die vorletzte Zahl ab und führe den Vorgang erneut durch. Sobald du bei einer kleinen Zahl angelangt bist, weißt du, ob sie durch 7 teilbar ist. Bei einer vorhandenen Teilbarkeit ist auch die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar.

 

Das ist dir zu abstrakt? Kein Problem! Wir zeigen es dir anhand von Beispielen:

 

1045

5 * 2 = 10

104 – 10

94

 

94 ist nicht durch 7 teilbar, weswegen auch 1045 nicht durch 7 teilbar sein kann.

 

Ein weiteres Beispiel:

 

2527

7 * 2 = 14

252 – 14 = 238

8 * 2 = 16

23 – 16 = 7

 

Du weißt, dass 7 durch 7 teilbar ist. Das gilt hier auch bei 2527, da 2527 : 7 = 361 ist.

 

Zugegeben: Diese Variante ist nicht ganz einfach und daneben gibt es weitere Teilbarkeitsregeln für 7. Die hier vorgestellte Art und Weise ist besonders schülerfreundlich. Wenn du sie ein paar Mal geübt hast, wird bei keiner Arbeit mehr etwas schief gehen.

 

Gehen wir zur 8 über und schauen uns hierzu die Teilbarkeitsregeln an.

 

Merke: Ob eine Zahl durch 8 teilbar ist, kannst du anhand ihrer letzten drei Ziffern erkennen. Sind sie durch 8 teilbar, so trifft das auf die gesamte Zahl zu.

 

Beispiel:

 

3421 → 421 ist nicht durch 8 teilbar, was dadurch auch auf 3421 zutrifft.

 

Ein weiteres Beispiel:

 

94123 → 94000 ist durch 8 teilbar. Bei der übrig bleibenden 123 ist das anders. Sie kann nicht durch 8 geteilt werden. Dadurch lässt sich die Zahl bei einer Teilung durch 8 nicht ohne Rest zerlegen.

 

Manchmal sind die letzten 3 Ziffern schon relativ groß.

 

Du weißt sicherlich, dass sich 100, 1000, 10000 und weitere Zahlen dieser Reihe durch 8 teilen lassen. Zerlege deine vorliegende Zahl also in 100, 1000, 10000 oder andere (je nach Größe).

 

45987 → 45000 sind durch 8 teilbar. Es bleiben 978 übrig. Wenn du nun von 1000 (diese ist durch 8 teilbar) 13 abziehst, erhältst du keine durch 8 teilbare Zahl. Das bedeutet, dass deine gesamte Zahl nicht durch 8 teilbar ist.

 

Und wieder wird es etwas schwerer – mit der Teilbarkeitsregel zur 9.

 

Merke: Du möchtest eine Zahl durch 9 teilen – ohne einen Rest zu erhalten? Das geht nur, wenn die Quersumme deiner Zahl ebenfalls durch 9 teilbar ist.

 

7875 (Quersumme): 7 + 8 + 7 + 5 = 27 : 9 = 3

Die ermittelte Quersumme ist durch 9 teilbar, daher kannst du auch 7875 durch 9 teilen:

7875 : 9 = 875

 

Weiter geht es:

 

39468 (Quersumme): 3 + 9 + 4 + 6 + 8 = 30

30 ist nicht ohne Rest durch 9 teilbar. Die Zahl 39468 ist daher ebenfalls nicht durch 9 teilbar.

 

Von enormer Bedeutung: Die Teilbarkeit durch 10, 100, 1000.

 

Merke: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 beträgt. Bei der Teilbarkeit durch 100 verhält es sich ähnlich. Allerdings müssen bei der Teilung ohne Rest die letzten beiden Ziffern 00 lauten. Bei 1000 sind die letzten drei Ziffern Nullen.

 

100 : 10 = 10

 

1000: 100 = 10

 

9450 : 10 = 945

 

1200 : 100 = 12

 

90 : 10 = 9

 

560 : 100 = 5,6 ( diese Division ist nicht ohne Rest möglich. Grund: Die Ausgangszahl (560) verfügte lediglich über eine 0, wohingegen die Zahl 100 zwei Nullen aufweist.

 

Die 11 macht es Schülern oft nicht leicht. Hier geht es um das Ermitteln der alternierenden Quersumme. Was erst einmal kompliziert klingt, ist im Grunde genommen ganz einfach:

 

Merke: Die alternierende Quersumme zu erhalten, ist nicht schwer. Hast du eine Zahl mit mehreren Ziffern vor dir, so addierst du zunächst die 1. mit der 3. und der 5. usw. In einer zweiten Rechnung ziehst du die 2., die 4., die 6. Zahl (usw.) zusammen. Schreibe die Ergebnisse untereinander. Vom Ergebnis der ersten Rechnung ziehst du jenes der zweiten Rechnung ab. Erhältst du das Ergebnis 0, so ist die vorliegende Zahl durch 11 teilbar.

 

Üben wir:

 

136349 ist durch 11 zu teilen.

 

Wir addieren zunächst:

 

1 + 6 + 4 = 11

Und daraufhin:

 

3 + 3 + 9 = 15

 

Die Ergebnisse voneinander subtrahieren: 11 – 15 = - 4

 

Da das Ergebnis nicht gleich 0 ist, ist die Zahl 136349 nicht durch 11 teilbar.

 

Ein zweites Beispiel dazu:

 

8679

 

Wieder beginnen wir mit der Addition:

 

8 + 7 = 15

 

6 + 9 = 15

 

Wir subtrahieren die Ergebnisse:

 

15 – 15 = 0

 

Die Zahl 8679 ist durch 11 teilbar, denn 8679 : 11 = 789.

 

Nun weißt du, dass es auf die notwendgen Teilbarkeitsregeln ankommt, wenn du wissen willst, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist. Wie gehst du jedoch vor, wenn du die Teiler von zwei Zahlen miteinander vergleichen und den größten gemeinsamen Teiler ermitteln willst?

 

Hier ist die Antwort:

 

Du kannst die Teiler von zwei oder mehreren Zahlen in einer Tabelle einfügen, wie wir es auf einer der vorherigen Seiten bereits getan haben. Leichter wird dir die Primfaktorzerlegung fallen. Darüber hinaus ist sie auch die ökonomischere Art der Ermittlung von Teilern.

Die Primfaktorzerlegung

Primzahlen sind Zahlen, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. Beispiele für solche Zahlen sind 5, 7, 11, 13 – hier fungieren sie als Primfaktoren. Viele vergessen, dass auch die Zahl 2 eine Primzahl darstellt. Jede Zahl lässt sich in ihre Primfaktoren zerlegen. Schau dir dazu das nachstehende Beispiel an.

Du willst die Zahl 36 in Primfaktoren zerlegen. Wir wissen, dass die Zahl 2 die kleinste Primzahl darstellt. Also beginnen wir mit ihr. Du teilst die 36 so oft durch 2, bis eine Zahl entsteht, die nicht mehr durch 2 teilbar ist. Dann gehst du zur nächsten Primzahl über (in diesem Fall 3):

 

36 = 2 * 2 * 3 * 3

 

Diese Zahlen sind also die Primfaktoren von 36. Gehen wir eine Stufe weiter, indem wir eine Zahl nehmen, welche nicht durch 2 teilbar ist. Wir beginnen mit 65. Es ist klar, dass die Zahl auch nicht durch 3 teilbar sein kann, da die Quersumme 11 lautet. Also beginnen wir hier mit 5.

 

65 = 5 * 13

 

Nach der 5 gibt es keine weitere Primzahl, durch welche sich 65 teilen lässt – bis auf 13.

Und 5 * 13 = 65

 

Versuchen wir es bei einer größeren Zahl:

 

1040 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 13

 

Und mit einer weiteren Zahl:

 

84 = 2 * 2 * 3 * 7

 

Wir gehen einen Schritt weiter, indem wir die Primfaktoren von zwei Zahlen miteinander vergleichen:

 

Unsere Zahlen lauten 978 und 300:

 

978 = 2 * 3 * 163

300 = 2 * 2 * 3 * 5 * 5

 

Wie du siehst, gibt es in beiden Reihen Zahlen, die gleichermaßen auftreten: 2 und 3. Diese Zahlen multiplizierst du und das Ergebnis ist der größte gemeinsame Teiler:

 

ggT (978, 300) = 6

 

Versuchen wir es mit den Zahlen 1024 und 672:

 

1024 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

672 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 7

 

Nimm dir wieder jene Primfaktoren heraus, welche bei beiden Zahlen in gleicher Anzahl vorhanden sind: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32

 

ggT (1024, 672) = 32

 

Führe die Probe durch, indem du beide Zahlen durch 32 teilst. Erhältst du einen Rest, hast du dich verrechnet.

Euklidischer Algorithmus

Nicht immer sind die Primfaktoren zu einer Zahl bekannt und das Berechnen würde mehr Zeit in Anspruch nehmen. Dann kann der Euklidische Algorithmus weiterhelfen. Klingt kompliziert, ist aber einfach:

 

Nehmen wir an du möchtest den größten gemeinsamen Teiler von 910 und 526 herausfinden. Dann beginnst du damit, dass du die beiden Zahlen durch einander teilst. Die kleinere Zahl ist der Divisor, demzufolge stellt die größere den Dividenden dar:

 

910 : 526 = 1 Rest 384

526 : 384 = 1 Rest 142

384 : 142 = 2 Rest 100

142 : 100 = 1 Rest 42

100 : 42 = 2 Rest 16

42 : 16 = 2 Rest 10

16 : 10 = 1 Rest 6

10 : 6 = 1 Rest 4

6 : 4 = 1 Rest 2

4 : 2 = 2 Rest 0

 

An der Stelle, an welcher die Multiplikation ohne Rest aufgeht, wurde der größte gemeinsame Teiler gefunden. Er stellt den Divisor dar.

 

ggT (910, 526) = 2

 

Zur Verinnerlichung folgt ein zweites Rechenbeispiel zu den Zahlen 455 und 396:

 

455 : 396 = 1 Rest 59

396 : 59 = 6 Rest 42

59 : 42 = 1 Rest 17

42 : 17 = 2 Rest 8

17 : 8 = 2 Rest 1

8 : 1 = 8 Rest 0

 

ggT (455, 396) = 1

Vergleich der Teilermengen der Zahlen

Die klassische Methode zum Herausfinden vom ggT ist der Vergleich der Teilermengen. Hierzu schreibst du alle Zahlen auf, durch welche sich deine Zahlen teilen lassen. Du beginnst mit der kleinsten Zahl. Obgleich jede Zahl durch 1 teilbar ist, gehört sie dennoch immer in die Menge:

 

Vergleiche die Teilermengen:

 

Die Teiler von 276: {1, 2, 3, 4, 6, 12, 23, 46, 69, 92, 138, 276}

Die Teiler von 7654: {1, 2, 43, 86, 89, 178, 3827, 7654}

 

Konzentriere dich und suche die größte Zahl heraus, die in beiden Mengen vorkommt. In diesem Fall ist es die 2. Sie ist auch der größte gemeinsame Teiler von 276 und 7654.

 

Weiter geht es mit 120 und 64:

 

Die Teiler von 120: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

Die Teiler von 64: {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}

 

ggT (120, 64) = 8

---