Zinseszinsrechnung

In diesem Artikel erklären wir euch die Zinseszinsrechung - dabei fangen wir aber erstmal mit der Erklärung der Zinsrechung an. Außerdem findet ihr auf dieser Seite alle Formeln und Erklärungen zur Zinseszinsrechnung. 

Die Grundlagen der Zinsrechnung

Jahreszinsen

Um die Zinseszinsrechnung verstehen zu können, sind die grundlegenden Kenntnisse der Zinsrechnung von größter Bedeutung. Deswegen rekapitulieren wir im ersten Abschnitt noch einmal kurz die Grundlagen der Zinsrechnung, um für jeden die gleiche Ausgangsbasis zu schaffen.
Die Zinsrechnung wird immer dann wichtig, wenn ich entscheiden soll, auf welche Art und Weise ich mein Geld anlegen soll, um den größten Profit aus der Anlage zu schlagen.
Um berechnen zu können, wieviel Gewinn ich von meiner Anlage erwarten kann, kann folgende Formel benutzt werden:

Zinsformel
Abbildung 1: Zinsformel
In dieser Formel steht: Z für die anfallenden Zinsen, p% für den Zinssatz und K für das verwendete Kapital

Anhand eines Beispiels wird die Verwendung dieser Formel deutlicher. Gehen wir davon aus, dass ich zum 18. Geburtstag 1000 € geschenkt bekommen habe und diese bei einer Bank für ein Jahr zu einem Prozentsatz von 3 Prozent auf einem Sparbuch anlege. Durch einsetzen der Werte in die Formel kann ich leicht berechnen, wieviel Zinsen ich nach einem Jahr erhalte. Mein Kapital sind 1000 € (K = 1200) und der Prozentsatz sind 3 % (p = 0,03). Daraus folgt:

Zinsformel_Zahlen

Die obengenannte Gleichung gilt allerdings nur für ein volles Jahr. Trotzdem kann die Formel so angepasst werden, dass ich die Zinsen für eine bestimmte Anzahl an Monaten oder Tagen bestimmen kann.

Monats- und Tageszinsen

Weil ein Jahr bekanntlich aus 12 Monaten besteht, werden die Zinsen nach einer bestimmten Anzahl von Monaten anteilig am ganzen Jahr berechnet. In der Formel sieht das Ganze dann so aus:

Monatszinsen

Abbildung 2: Monatszinsen
In dieser Formel stehen: Z für die anfallenden Zinsen, p% für den Zinssatz und K für das verwendete Kapital und m für die Anzahl der Monate

Verwenden wir das eben genannte Beispiel von den 1000 €, die ich zum Geburtstag erhalte. Wenn ich wissen möchte, wieviel Zinsen nach einem halben Jahr, sprich 6 Monaten, zusammen gekommen sind, setze ich folgendes in die Formel ein. Mein Kapital sind 1000 € (K = 1200), der Prozentsatz sind 3 % (p = 0,03) und die Anzahl der Monate sind 6. Daraus folgt:

Monatszinsen_Zahlen


Die Berechnung von Zinsen nach einer bestimmten Anzahl an Monaten lässt sich analog auf die Berechnung von Zinsen nach einer bestimmten Anzahl an Tagen übertragen. Dabei ist jedoch zu berücksichtigen, dass die Banken in Deutschland mit 360 Tagen im Jahr rechnen. Die Gleichung sieht dann wie folgt aus:

Tageszinsen
Abbildung 3: Tageszinsen
In dieser Formel stehen: Z für die anfallenden Zinsen, p% für den Zinssatz und K für das verwendete Kapital und m für die Anzahl der Monate

Möchte ich also wissen, wieviel Zinsen nach 120 Tagen zusammen gekommen sind, setze ich folgendes in die Formel ein. Mein Kapital sind 1000 € (K = 1200), der Prozentsatz sind 3 % (p = 0,03) und die Anzahl der Tage sind 120. Daraus folgt:

Tageszinsen_Zahlen

Berechnung von Zinssätzen, Kapital und Zeiträumen

Durch Umstellen der einzelnen Gleichungen können neben den anfallenden Zinsen auch Zinssätze bei bekanntem Kapital und Zinsen berechnet werden. Bei Kenntnis der Zinsen und des Zinssatzes kann das aufgewendete Kapital berechnet werden und bei Bedarf können die Zeiträume bis zum Erreichen einer bestimmten Zinsmenge berechnet werden.

Zinssatz berechnen: Zinssatz_berechnen

Kapital berchnen: Kapital_berechnen

Zeiträume berechnen: Zeitr__ume_berechnen

Zinseszinsrechnung

Nachdem die Grundlagen der Zinsrechnung nun für jeden noch einmal aufgefrischt wurden, können wir uns nun dem eigentlichen Problem, der Zinseszinsrechnung zuwenden. Da Geld oft nicht über Zeiträume von einem Jahr oder wenigen Monaten angelegt wird, sondern über längere Zeiträume wie zum Beispiel 10 oder 20 Jahre, wäre es sehr lästig die Zinsen für jedes Jahr einzeln zu bestimmen, auf das Kapital aufzuschlagen und erneut dir Zinsen für das nächste Jahr zu bestimmen. Des Weiteren wollen Anleger nicht wissen wieviel Zinsen erwirtschaftet werden, sondern wieviel Geld nach dem geplanten Zeitraum auf dem Konto liegt. Die Formel, die in diesem Fall benötigt wird, lautet:

Zinseszinsformel
Abbildung 4: Zinseszinsformel
In dieser Formel steht K(a) für das Kapital nach a Jahren, K für das Startkapital, p% für den Prozensatz und a für die Anzahl der Jahre

Doch wie kommt diese Formel? Dafür gehen wir noch einmal einen kleinen Schritt zurück in den letzten Abschnitt. Wie erwähnt wäre das einzelne Berechnen der Zinsen pro Jahr sehr aufwendig, aber genau dieser Rechenschritt bildet die Grundlage für obengenannte Formel. Bleiben wir bei dem Beispiel der 1000 € die wir zum Geburtstag erhalten. Jetzt wollen wir das Geld aber für 5 Jahre auf einem Sparbuch mit einem Prozentsatz von 5 % anlegen. Wieviel Geld ist nun nach 5 Jahren auf dem Sparbuch vorhanden? Berechnen wir als erstes den Betrag nach einem Jahr:


Berechnung_nach_1_Jahr

Nach einem Jahr liegen nun 1050 € auf dem Sparbuch. Die Rechnung wird in den folgenden Schritten analog für die Jahre 2 bis 5 aufgestellt.

Berechnung_2_5_Jahre

Nach fünf Jahren befinden sich also 1276,29 € auf dem Sparbuch. Wie mancher vielleicht schon festgestellt hat, ist diese Art von Rechnung zu aufwendig, um sie für längere Zeiträume zu betreiben. Wie kann man die Rechnung als vereinfachen?



Da Zinsen immer als Z=K*p% geschrieben werden, können die Zinsen in der Summenbildung von Zinsen und Kapital folgendermaßen geschrieben werden.

Kapital_Summenbildung


Dieser Term lässt sich durch Zusammenfassen weiter vereinfachen:

Kapital_Zusammenfassung


Durch das Zusammenfassen wird eine separate Addition von Zinsen und altem Kapital vermieden. Wer aufgepasst hat, kann hier einen Teil der Formel für die Zinseszinsrechnung entdecken, nämlich den Ausdruck (1+p%). Wie der restliche Teil der Formel zustande kommt, wird im Folgenden gezeigt. Auch die Berechnung des Kapitals in zwei Jahren lässt sich vereinfachen. Wir fangen am mit:

K_zwei


Wie der restliche Teil der Formel zustande kommt, wird im Folgenden gezeigt. Auch die Berechnung des Kapitals in zwei Jahren lässt sich vereinfachen. Wir fangen am mit:

K_zwei_Zahlen


An dieser Stelle haben wir nun die Formel vom Anfang des Kapitels hergeleitet. In diesem Fall wurden der Index des K vor dem Gleichzeichen und der Exponent der Klammer durch 2 ersetzt. Um zu überprüfen, ob diese Formel auch gültig ist stellen wir die Gleichung für den Zeitraum von 5 Jahren auf den Prüfstand. In diesem Fall wird als Exponent der Klammer gleich 5 gesetzt.

K_f__nf


Wie zu sehen ist, stimmen die beiden Ergebnisse überein. Über die Differenz von einem Cent zu der Schritt für Schritt Berechnung soll sich bitte nicht gewundert werden. Diese Differenz kommt durch Rundungen bei der Schritt für Schritt Berechnung zustande. Die hier verwendete Formel ist die exaktere Methode.

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