Die Wahrscheinlichkeit und ihre Berechnung

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Wenn wir nach draußen gehen und uns bereits auf ein Picknick vorbereiten, wollen wir das Wetter ganz genau kennen. Wir fragen uns deshalb wie wahrscheinlich Regen ist. Wer ein Kind bekommt, überlegt sich, wie wahrscheinlich blaue oder braune Augen sind. Vielleicht denken wir auch vor dem Urlaubsantritt über den idealen Tag der Abfahrt nach. Wie wahrscheinlich ist es dann, nicht in einen Stau zu kommen? Diese Situationen stammen aus dem Alltag.

Spezifischer wird es, wenn es bspw. um Sportwetten geht. Doch besonders beliebt sind Wahrscheinlichkeiten im Bereich von Gewinnspielen, die eine Gewinnausschüttung in der jeweiligen Währung mit sich bringen. Hast du bereits Lotto gespielt und fragtest dich, ob ein Sechser mit Zusatzzahl für dich möglich ist? Die Berechnung ist nicht ganz einfach und erfordert umfassende Kenntnisse in der Stochastik, die innerhalb dieses E-Books zu weit führen würden. Es sei dir aber gesagt, dass deine Chancen des Gewinns extrem gering sind. Näheres zum Lotto-Spiel und den einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten erfährst du am Ende des Buches. Nehmen wir an bei einem Spiel liegt die Anzahl an Möglichkeiten verschiedene Karten zu legen bei 625. Was sagt diese hohe Zahl eigentlich aus? Sie steht für die Arten und Weisen (in ihrer Anzahl), auf welche du die einzelnen Karten legen kannst.

Beispiel für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 

Beginnen wir zur Einführung mit einem leichteren Beispiel: Du hast eine Münze. Jede Münze hat zwei Seiten, sodass deine Wahrscheinlichkeit Kopf oder Zahl zu werfen jeweils bei 50 % liegt. In der Wahrscheinlichkeitsberechnung sind Prozentangaben nicht üblich. Die Wahrscheinlichkeit wird mit P ausgedrückt. Bei unserem Münzspiel hast du folgende Wahrscheinlichkeit Kopf zu werfen:

 

P = 0,5

 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim einmaligen Münzwurf Kopf ODER Zahl zu werfen?

 

P = 1

 

Wir gehen davon aus, dass das Landen auf der Kante der Münze nicht zählt.

 

Nehmen wir an du würfelst einmal mit deinem Würfel. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit eine durch 2 teilbare Zahl zu würfeln?

 

P = 3/6

P = ½ = 0,5

 

Wie kommst du auf 3 : 6? Ein Würfel hat sechs Seiten. Auf jeder Seite steht eine Zahl zwischen 1 und 6. Wir wollten wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine durch 2 teilbare Zahl zu würfeln. Welche Zahlen von 1 bis 6 sind durch 2 teilbar? Richtig: 2, 4 und 6. Es sind 3 Zahlen von insgesamt 6 Zahlen. Die Wahrscheinlichkeit ist demzufolge P = 3/6 oder auch 0,5.

 

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zu würfeln, die durch 7 ganzzahlig teilbar ist? Die größte Zahl auf dem Würfel ist 6. Damit liegt 7 darüber. Es gibt keine Zahl auf dem Würfel, die sich durch 7 teilen lässt. Die Wahrscheinlichkeit ist:

 

P = 0

 

Was unterscheidet die einzelnen Situationen voneinander? Es gibt vorhersagbare und unvorhersagbare Ausgänge. Unvorhersehbar ist beispielsweise das Ergebnis beim Münzwurf oder beim Würfeln eines herkömmlichen Würfels. Anders verhält es sich bei dem Würfel, dessen Zahlen nicht durch 7 teilbar sind. Das Ergebnis ist vorhersehbar. Das gilt ebenfalls für die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, ob nach dem Winter der Frühling folgt. Sie liegt bei P = 1.

 

Halten wir fest: Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dividierst du die günstigen Ausgänge deines Versuchs durch die Gesamtanzahl aller möglicher Ereignisse.

 

Wenn wir eine 5 würfeln wollen, so ist die Zahl 5 ein günstiges Ereignis. Alle weiteren Zahlen spielen im Rahmen der günstigen Ausgänge keine Rolle (Gegenereignisse). Hingegen benötigst du sie, wenn du die Gesamtanzahl aller Ausgänge ermittelst. Da ein Würfel 6 Seiten hat, ist die Gesamtanzahl 6:

 

P = 5/6

 

P = 0,83 (gerundet)

 

Was du wissen solltest: Wahrscheinlichkeit ist nicht bloß ein Mittel, um Zufälle aus zu drücken, die letztendlich doch nicht eintreten. Sie sind weitaus mehr und ihre Berechnung ist durchaus sinnvoll. Zahlreiche Beispiele mit mehrfacher Wiederholung des jeweiligen Experiments belegen das. Denn: Umso häufiger ein Experiment mit gleichen Ereignissen durchgeführt wird, desto mehr näherst du dich den errechneten Wahrscheinlichkeiten an. Was bedeutet das? Nehmen wir an du wirfst eine Münze 3-mal. Die Ausgänge können unterschiedlich sein: Kopf, Kopf, Kopf – Kopf, Kopf, Zahl – Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Zahl, Zahl, usw. … .Die Wahrscheinlichkeit (pro Wurf) Kopf oder Zahl zu erhalten, liegt bei P = 0,5. Wenn du jetzt 3-mal geworfen und 2-mal Kopf und 1-mal Zahl erhalten hast, erhieltst du die Wahrscheinlichkeiten P = 0,67 (gerundet) für Kopf und 0,33 (gerundet) für Zahl. Unsere eigentliche Wahrscheinlichkeit liegt jedoch bei P = 0,5. Das Geheimnis liegt in der Häufigkeit. Umso häufiger du den Versuch wiederholst (bspw. Wirfst du die Münze 100-mal), desto mehr siehst du, dass die Ergebnisse immer mehr in Richtung P = 0,5 gelangen. Probier es aus. Vergiss nicht deine Ergebnisse nach jedem Durchgang zu dokumentieren. Zähle am Ende alle Ausgänge pro Kopf/Zahl zusammen und dividiere durch die Gesamtanzahl der Durchgänge.

 

Nach dem 100. Wurf könnte dein Ergebnis so aussehen: P = 0,6 (Kopf) und P = 0,4 (Zahl). In die Praxis übertragen: Bei 60 von 100 Würfen fiel der Kopf, bei 40 von 100 Würfen fiel die Zahl. Kann man nun aufgrund des Ergebnisses darauf schließen, dass Zahl automatisch in einem gewissen Intervall erscheint? Nein! Die ermittelten Ergebnisse sind theoretischer Natur. Bei einer Wahrscheinlichkeit gibt es immer auch eine Unsicherheit. Ansonsten wäre wohl die Lotto-Gemeinschaft noch größer. Im Gegensatz zur theoretischen Wahrscheinlichkeit steht die statistische Wahrscheinlichkeit, welche sich an Erfahrungen orientiert.

1. Gesamtwahrscheinlichkeit

Hast du schon einmal Roulette gespielt? Hier gelten gewisse Regeln. Das Setzen ist relativ frei. Die meisten Menschen setzen auf Rouge oder Noir. Die grüne 0 spielt für sie eine untergeordnete. Rolle. Im Roulette-Spiel kannst du auch auf gewisse Zahlen setzen. Du möchtest die Wahrscheinlichkeit der günstigen Ausgänge ermitteln? Schauen wir uns den Sachverhalt am Beispiel des Würfels an:

 

Du wettest: Wenn du die Zahlen 2 oder 4 würfelst, erhältst du von deinem Freund 5 Euro. Wie groß sind deine Chancen einen Sieg zu erlangen? Addiere dazu die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ausgänge:

P(2) = 1/6

P(4) = 1/6

 

P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 0,33 (gerundet)

 

Die Wahrscheinlichkeit ist gering. Sie liegt mit 33 Prozent unterhalb von 50 Prozent. Auf diese Wette solltest du dich nicht einlassen, wenn es sich nicht um einen Würfel mit sich im Innenraum befindenden Gewichten handelt.

2. Zufallsversuche mit mehreren Stufen

Auf einer der vorherigen Seiten erwähnten wir den mehrfachen Wurf einer Münze. Wie die Wahrscheinlichkeiten in jedem einzelnen Durchgang sind, das wissen wir. Immer, wenn wir die Münze werfen, wird entweder Kopf oder Zahl erscheinen. Gezielt eines der Ereinisse zu erhalten, diese Wahrscheinlichkeit beträgt 50 % oder P = 0,5.

 

Jetzt betrachten wir nicht mehr den Einzelversuch. Wir konzentrieren uns auf das zweimalige Werfen der Münze. Wenn du zweimal wirfst, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in der Gesamtanzahl eine Zahl zu werfen?

 

Wir wissen: Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist im ersten Wurf P = 0,5. Auch auf Zahl trifft das zu. Für den zweiten Versuch gilt das Ergebnis ebenso und auch für den dritten und alle weiteren. Will man die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Durchgänge erhalten, so ist nach der Pfadregel zu multiplizieren. Betrachten wir die Pfade eines zweifachen Münzwurfs.

 

K steht für Kopf und Z für Zahl. Im ersten Durchgang haben wir eine Wahrscheinlichkeit von P = 0,5, mit der wir Zahl werfen. Im zweiten Durchgang gilt das ebenso. Hier gibt es mehrere Pfade. Wir konzentrieren uns jedoch auf den Pfad, der den Ausgang Kopf nicht berücksichtigt. Dazu multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten am roten Pfad, da Sie ausschließlich das Z tragen. Wir erhalten:

P = 0,5 * 0,5 = 0,25

 

Die Wahrscheinlichkeit beträgt nach dem Ergebnisbaum P = 0,25. Das leuchtet ein, denn unser Z-Pfad ist einer von vier Pfaden: S = (KK, KZ, ZK, ZZ).

 

Wenn das Baumdiagramm wie in unserem Beispiel nicht nur aus einer Stufe besteht (einmaliges Würfeln, einmaliges Ziehen einer Kugel aus einer Urne), handelt es sich um ein zwei- oder mehrstufiges Zufallsexperiment. Die einzelnen Pfade kannst du im Baumdiagramm ablesen.

 

Schauen wir uns ein mehrstufiges Experiment an:

Du hast zwei Lose. Das eine steht für Gewinn (G), das andere stellt eine Niete (N) dar. Nachdem du eines gezogen hast, musst du noch einmal mit einem Würfel (übliche Beschriftung) würfeln.

 

Die möglichen Ergebnisse beim Erhalt von G = Gewinn: (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6). Wenn du N = Niete gezogen hast, erhältst du folgende Ergebnismöglichkeiten:

(N, 1), (N, 2), (N, 3), (N, 4), (N, 5), (N, 6).

 

Wir haben es mit einem zweistufigen Zufallsexperiment zu tun, dessen Pfadanzahl du ohne Probleme ermitteln kannst. Dazu musst du wissen, dass jeder Einzelversuch als Stufe bezeichnet wird. In unserem Beispiel ist das Ziehen von einem Los die erste Stufe. In der zweiten Stufe würfelst du. Im ersten Versuch gab es zwei mögliche Ergebnisse, im zweiten Versuch (Stufe) waren es sechs mögliche Ausgänge. Wenn du nun die Anzahl der Pfade berechnen willst, musst du die Anzahl der Ereignisse pro Stufe miteinander multiplizieren. Hier sind es 2 * 6 = 12 Pfade. Schau dir das Bild erneut an und die Pfade, die vom ersten Punkt des Baumdiagramms zum Ende führen. Es sind exakt 12 Pfade.

 

Kurz gesagt: In einem mehrstufigen Zufallsexperiment ermitttelst du die Anzahl der Pfade, indem du die Ergebnisse jeder Stufe mit denen der anderen Stufen multiplizierst. Wichtig: Wende dieses Prinzip zur Ermittlung der Pfade lediglich dann an, wenn es auf die Reihenfolge der Ergebnisse ankommt. Bei ungeordneten Experimenten musst du anders vorgehen.

3. Geordneter Versuch mit Zurücklegen

Ein geeordneter Versuch mit Zurücklegen erfordert eine andere Berechnung als geordnete Versuche ohne Zurücklegen. Die Pfadregeln haben wir für den geordneten Versuch mit Zurücklegen bereits erläutert. Wollen wir nun nicht die möglichen Pfade errechen. Konzentrieren wir uns auf die Wahrscheinlichkeiten im geordneten Versuch mit Zurücklegen. Die Anzahl der Wahrscheinlichkeiten errechnet sich ganz einfach.

 

Beispiel: Eine Maschine wirft einen Ball in eine Richtung. Nach jedem Wurf setzt du den Ball erneut in der Maschine ein. Der Ball kommt in jedem Fall in einem von drei Feldern gleicher Größe an. Die Felder wurden mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball beim vierfachen Wurf mindestens 1-mal im Feld 1 landet? Pro Wurf hat die Maschine drei Möglichkeiten Feld 1 zu treffen. In zwei der drei Möglichkeiten trifft der Ball ein anderes Feld. Die Wahrscheinlichkeit beim vierfachen Wurf nicht in das Feld 1 zu treffen, liegt bei 2 * 2 * 2 * 2 = 16. Insgesamt gibt es bei diesem Versuch 3⁴ Möglichkeiten, also 81

Die Gegenwahrscheinlichkeit (16 von 81) muss nun mit der Wahrscheinlichkeit Feld 1 zu erreichen, addiert werden – ausgehend von 1. 16/81 + 65/81. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu erreichen bei 0,8 (gerundet) – demnach 80 Prozent.

 

Zurück zum geordneten Versuch ohne Zurücklegen. Nehmen wir uns ein Blumenbeet vor. Ein Gärtner will 6 Blumen in jeweils 1 von sechs gegrabene Löcher pflanzen. Nach längerer Überlegung kommt er zu dem Schluss, dass er die Blumen ohne lange Überlegung in irgendein Loch pflanzt und das Aussehen des bei Blüte farbigen Beetes nicht vorab penibel durchdenkt.

 

Wie viele Möglichkeiten der Sortierung gibt es? Achtung! Unser Versuch besteht aus sechs Stufen. Wurde eine Blume gepflanzt, sind lediglich 5 Blumen übrig. Stehen zwei Blumen, sind noch 4 ein zu pflanzen.

 

6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 Möglichkeiten. Jedes Loch hat die gleiche Wahrscheinlichkeit mit dieser oder jener Blume bepflanzt zu werden 1/720.

 

Bei n-stufigen Versuchen (im Blumenbeispiel ist n = 6) finden wir das Ergebnis mit nachstehender Formel:

 

n! = n * (n – 1) * (n – 2) * ...* 2 * 1

 

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

 

12! = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

 

Ausnahme: 0! = 1

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