PQ Formel

Mit Hilfe der pq-Formel lassen sich quadratische Gleichungen in der Mathematik nach einem einfachen Schema lösen.  

Wir erklären euch, wie die PQ Formel funktioniert, wie man mit dieser rechnet und geben euch noch eine Herleitung der PQ Formel mit auf dem Weg. 

PQ Formel Basics: Was ist eine quadratische Gleichung?

In einer quadratischen Gleichung hat die Variable (meistens x) als höchste Potenz eine 2. Es handelt sich also um eine Funktion zweiten Grades. Allgemein formuliert, sieht eine quadratische Gleichung so aus:

quadratische_Gleichung

Die Koeffizienten b und c können beliebige Werte annehmen, a muss aber ungleich Null sein.
Es kann sein, dass eine quadratische Gleichung nicht dieselbe Form hat, wie in die Formel oben. Für die Anwendung der pq-Formel ist es allerdings wichtig, dass die Gleichung zuerst in die so genannte Normal-Form gebracht wird. Das bedeutet, dass der Koeffizient a vor dem x² gleich eins sein muss. Diese Form erreicht man ganz einfach indem man alle Glieder der Gleichung durch den Koeffizienten a teilt.

Die Anwendung der pq-Formel

Ist die quadratische Gleichung in der Normal-Form, kann man die pq-Formel anwenden. Der Name der Formel gibt bereits Aufschluss darüber, dass als Koeffizienten nicht a, b und c verwendet werden, sondern p und q. Die allgemeine Normal-Form der quadratischen Gleichung mit den beiden neuen Koeffizienten lautet:

pq_Formel_Anwendung

Im nächsten Schritt müssen die Koeffizienten p und q der zu lösenden Gleichung ermittelt werden. Dazu wird die vorliegende Gleichung mit der Formel oben verglichen.

Lösung der pq-Formel

Hat man die Koeffizienten p und q heraus gefunden, können diese in die pq-Formel eingesetzt werden.. Die pq-Formel sieht wie folgt aus:

Loesung_pqformel

Man setzt die Werte für p und q zwei mal in diese Formel ein. Einmal verwendet man Plus und das andere mal Minus. Auf diesen Weg werden zwei x-Werte erhalten , die die quadratische Gleichung lösen.

Beispiel Rechnung mit der PQ Formel 

Zum einfacheren Verständnis werden zwei Beispiele Schritt für Schritt besprochen:

1.) Folgende quadratische Gleichung soll gelöst werden:

Beispielrechnung_01

Zuerst muss die Gleichung in die oben beschriebene Normal-Form gebracht werden. Das bedeutet, der Koeffizient vor dem x² muss gleich 1 sein. Gleichzeitig muss auf der Seite rechts vom Gleichheitszeichen eine Null stehen. Die erste Bedingung ist bei diesem Beispiel bereits erfüllt. Um die zweite Bedingung zu erfüllen, zieht man die 5 von der linken Seite der Gleichung ab. Man erhält:

Beispielrechnung_02

Als nächstes werden die Koeffizienten p und q ermittelt. Im Vergleich mit der Formel oben erkennt man, dass p = + 4 und q = - 8 ist. Wichtig ist, dass das Vorzeichen vor den jeweiligen Koeffizienten stimmt. Sind die Koeffizienten bekannt, können sie in die pq-Formel eingesetzt werden. Dabei wird folgender Ausdruck erhalten:

PQ_Formel_komplett

In die Formel wird einmal Plus und einmal Minus eingesetzt:

PQ_Formel_x1_x2

x1 und x2 sind die beiden Werte, die die quadratische Gleichung lösen.

2.) Im zweiten Beispiel soll folgende Gleichung gelöst werden:

2_Beispielrechnung_01

Zuerst muss die Gleichung wieder in die Normal-Form überführt werden. Auf der rechten Seite der Gleichung steht bereits eine Null. Die Gleichung muss nur noch so verändert werden, dass der Koeffizient vor dem x² gleich eins ist. Dazu wird jedes Glied des Polynoms durch 2,5 geteilt:

2_Beispielrechnung_02

Als nächstes folgt die Bestimmung der Koeffizienten p und q. In diesem Fall kann man aus der Gleichung die Werte p = + 6 und q = + 8 ablesen. Die Koeffizienten können dann in die pq-Formel eingesetzt werden:

2_PQ_Formel_komplett

Wird einmal Plus und einmal Minus eingesetzt, erhält man:

2_PQ_Formel_x1_x2

Man erhält mit x1 und x2 die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung.

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