Distributivgesetz

In diesem Artikel aus dem Bereich der Mathematik-Grundlagen erklären wir euch das Distributivgesetz. Wie immer: super einfach und verständlich erklärt, mit Beispielen und der Darstellung aller Rechenwege.

Das Distributivgesetz

Schüler und Schülerinnen werden im Mathematikunterricht häufig mit Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz konfrontiert. Die Erfahrung zeigt, dass die meisten Lernenden Schwierigkeiten mit dem Distributivgesetz haben. Dabei kann es richtig Spaß machen. Wer genügend übt und ausreichend Konzentration aufbringt, ist binnen kurzer Zeit ein Meister des Distributivgesetzes. Um den Einstieg zu erleichtern, erhältst du nun alle Informationen über das Distributivgesetz.

 

Beginnen wir mit der Frage: „Was hat es mit dem Distributivgesetz auf sich?"

Der Begriff „Distributivgesetz“ kommt – wie so viele mathematische Fachbegriffe – aus dem Lateinischen und entspringt dem Tätigkeitswort „distribuere“, was übersetzt „verteilen“ bedeutet. Und genau das machst du, wenn du das Distributivgesetz anwendest: Du verteilst. Was verteilst du? Ganz einfach! Du ordnest Summanden innerhalb von Additionsaufgaben neu, um dir damit eine schnellere Berechnung von schwierigeren Aufgaben zu ermöglichen. Dazu wandelst du die eigentliche Summe in ein Produkt um und setzt dazu Klammern ein.

 

Was in der Theorie kompliziert klingt, ist in der Praxis einfach. Überlege dir, dass du folgende Aufgabe hast:

 

7 * 29 = 7 * (20 + 9)

 

Wie bist du zu dieser Umformung gekommen? Du zerlegtest die 29 in zwei Teile, nämlich 20 und 9. Wenn du diese beiden Zahlen separat mit 7 multiplizierst, fällt dir das Rechnen wesentlich leichter als bei der Multiplikation von 7 und 29. Um die Aufgabe lösen zu können, gehst du folgendermaßen vor:

 

7 * (20 + 9) = (7 * 20) + (7 * 9)

= 140 + 63

= 203

 

Hierbei verwendest du ein wichtiges Gesetz: Jedes Glied in der Klammer wird mit der Zahl vor der Klammer multipliziert. Die Teilergebnisse addierst du und erhältst dein Endergebnis. Der erste Schritt ist dir vielleicht als Ausklammern bekannt. Du entwickelst dabei aus einer Summe ein Produkt. Wie gelangst du zu der eigentlichen Ausgangsform des Distributivgesetzes

(Bsp.: 7 * (20 + 9)?

 

Um dir den Sachverhalt zu verdeutlichen und damit eine Antwort auf die Frage zu liefern, schauen wir uns das nachstehende Beispiel an. Der nun kommende Teil des Ausklammerns ist für das Verständnis des Distributivgesetzes von unschätzbarem Wert, ist aber streng genommen nicht als das Gesetz selbst zu verstehen.

Distributivgesetz - ein Rechen-Beispiel 

 5x + 15v + 85q + 75b = 5 * (x + 3y + 17q + 15b)

 

Auf der linken Seite des Gleichheitszeichens findest du mehrere Glieder, welche durch ein Additionszeichen voneinander getrennt sind. Wenn du sie dir genauer anschaust, dürfte dir etwas auffallen. In jedem Glied kommt ein Vielfaches von 5 vor. Um die Addition zu erleichtern, formst du von einer Summe in ein Produkt um. Dabei klammerst du den Teil aus, der in jedem Glied

vorkommt. Nun ermittelst du den Wert, der fehlt, um den Ausgangswert zu erhalten.

 

Achtung: Vergiss nicht, dass 5x = 5 mal x, 15v = 15 mal v, 85q = 85 mal q und 75b = 75 mal b ist.

 

Das klingt alles ein wenig kompliziert. Wir wollen noch einige weitere Beispiele ansehen.

 

3x + xy + 23xz

 

Was kommt hier in jedem Teil der Summe vor? Richtig! Es ist die Variable x. Die Zahlen selbst lassen sich nicht ineinander überführen. Zunächst klammerst du x aus.

 

x * ( )

 

Nun gehen wir Schritt für Schritt vor und überlegen uns, was in die Klammer kommt. Die Ausgangsaufgabe beginnt mit 3x. Um von x auf 3x zu kommen, multiplizierst du x mit 3. Da das x bereits vor der Klammer steht, schreibst du die 3 in die Klammer.

 

x * (3 )

 

Zwischen 3x und xy in der Ausgangsform siehst du ein Additionszeichen. Beim Ausklammern schreibst du dieses direkt neben die 3.

 

x * (3 + )

 

Das zweite Glied wird von xy gebildet. Um diese Form zu erhalten, multiplizierst du das x mit dem y, welches du in die Klammer schreibst:

 

x * (3 + y )

 

Erneut siehst du neben dem xy (Ausgangsaufgabe) ein Additionszeichen. Schreib es in die Klammer.

 

x * (3 + y + )

 

Wieder ist ein Blick auf die eigentliche Aufgabe erforderlich. Dort steht 23xz. Um von x auf 23xz zu kommen, nimmst du x mit 23z mal. Bringe 23z in die Klammer. Da kein weiteres Glied vorhanden ist, hast du die Aufgabe nun umgeformt und das x ausgeklammert.

 

x * (3 + y + 23z)

 

Ein weiteres Beispiel verdeutlicht, dass das Ausklammern stets auf gleiche Weise erfolgt. Es gibt keine Ausnahmen!

 

19a + 38b = 19 * (a + 2b)

 

Wenn ein Minuszeichen vorhanden ist:

 

5c – 30a + 165cq = 5 * (c - 6a + 33q)

 

Bei enthaltenem Quadrat:

a² + 47ab + 13,3a = a * (a + 47b + 13,3)

 

Nachdem du ausgeklammert hast, kommt es zum Distributivgesetz. Greifen wir dazu das letzte Beispiel auf:

 

a * (a + 47b + 13,3)

 

Nun multiplizierst du jeden sich in der Klammer befindenden Teil separat mit dem vor der Klammer stehenden Wert und addierst die einzelnen Glieder anschließend. Achtung! Zahlen mit unterschiedlichen Variablen lassen sich nicht miteinander addieren:

 

a + b ≠ ab

 

In unserem Beispiel ist das Ausmultiplizieren leicht und führt zur Anfangsform zurück, denn:

 

a * (a + 74b + 13,3) = a² + 74ab + 13,3a

 

Bei dieser Aufgabe war es einfach, da lediglich 1a vor der Klammer stand. Manchmal ist es schwieriger und dann vereinfacht dir das Distributivgesetz tatsächlich das Rechnen:

 

Komplizierter ist es hier:

 

65bq + 169qu + 26q – 39cq = 13q * (5b + 13u + 2 – 3c)

 

Oder bei dieser Aufgabe:

 

6a²b³c + 4,5ac²d – 2,4ab²c + 0,6ac = 0,3ac * (20ab² + 15cd – 8b² + 2)

Das Distributivgesetz visualisiert

Irgendwie kannst du dir das Gesetz noch nicht so richtig vorstellen und wünschst dir eine bildhafte Darstellung? Die erhältst du:

 

Multipliziere 3 mit 9. Du erhältst 27.

 

3 * 9 = 27

 

Teile die 9 in Summanden auf und multipliziere mit 3. Erneut erhältst du 27:

 

3 * (4 + 5) = 3*4 + 3*5 = 12 + 15 =27

 

Veranschaulichung:





Die unterschiedlichen Arten des Distributivgesetzes

In der Mathematik unterscheidet man zwischen Links- und Rechtsdistributivität.

 

Optisch unterscheiden sich die beiden Varianten wie folgt:

 

2 * (3 + 4) ist linksdistributiv

(2 + 3) * 4 ist rechtsdistributiv

 

Wie du siehst, führen diese beiden Aufgaben nicht zum gleichen Ergebnis. Bei einer Multiplikationsaufgabe dieser Art spielt es keine Rolle, ob sich der Wert vor oder hinter der Klammer befindet, denn:

 

3 * (34 + 56) = (34 + 56) * 3

 

Bei einer Division ist das nicht der Fall, denn sie ist nicht kommutativ. Du kannst Divisor und Dividend nicht vertauschen. Das verfälscht das Ergebnis. Die Division ist daher immer rechtsdistributiv:

 

(10 + 5) : 5 = 3

 

Versuchen wir es umgekehrt:

 

5 : (10 + 5) = 0,33 (periodisch)

 

Hier verdeutlicht sich, dass die Division nicht rechts- und linksdistributiv ist.

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