Verständlich erklärt: Brüche kürzen

1. Brüche kürzen

Die Kenntnis über das Kürzen von Brüchen ist für dich von unschätzbarem Wert. Das trifft vor allem auf diejenigen Leser zu, die die Mathematik nicht so sehr mögen. Warum ist das Kürzen so wichtig und wie kannst du deinen Nutzen daraus ziehen?

 

Erst einmal begegnen dir Brüche in der Schule bis zu deinem Abschluss und in Ausbildung, Studium und Beruf trifft du sie wieder. Umso besser ist es, wenn du mit ihnen umgehen kannst. Speziell das Kürzen bringt dir ein enormes Zeitersparnis. Außerdem ist es gar nicht so schwer wie es klingen mag.

 

Los geht es mit dem Kürzen von Brüchen. Erst einmal solltest du wissen, dass ein Bruch nach dem Erweitern mit gleicher Zahl im Zähler wie im Nenner den Wert des Ausgangsbruches aufweist. Zur Verdeutlichung des Sachverhalts geben wir dir einen Bruch – erweitert mit 2:

 

= =

 

Gibst du die Brüche in Form einer Division in deinen Taschenrechner ein und berechnest den Wert des Bruches, ist das Ergebnis hier stets 0,5.

 

Ebenso gilt bei der Erweiterung mit 10:

 

= =

 

Auch dieses Beispiel steht stellvertretend dafür, dass Brüche nach dem Erweitern mit der gleichen Zahl im Zähler und Nenner zwar aus anderen Zahlen bestehen, doch ihre Division stets zum gleichen Ergebnis führt. Im Umkehrschluss ist das Ergebnis auch nach dem Kürzen gleich. Das Kürzen ist der umgekehrte Weg des Erweiterns.

 

Aus:

 

wird und daraus

 

Du hast Zähler und Nenner mit 10 gekürzt.

 

Auf gleiche Weise gehst du beim ersten Beispiel vor:

 

= =

 

Zähler und Nenner wurden mit 2 gekürzt.

 

Wie verläuft die Rechnung, wenn du einen Bruch mit einer Zahl kürzen sollst? Du dividierst zuerst den Zähler durch diese Zahl. Das Ergebnis ist der neue Zähler. Daraufhin kürzt du auch den Nenner durch eine Division. Das Ergebnis stellt den Nenner dar.

2. Zähler und Nenner mit gleicher Zahl kürzen

Beim Kürzen von Zähler und Nenner mit gleicher Zahl erhältst du ein Ergebnis, das durch Erweiterung mit dieser Zahl erneut zum ursprünglichen Bruch führt. Falls das nicht der Fall ist, hast du dich verrechnet. Somit ist die Erweiterung nach dem Kürzen eine gute Probe:

 

gekürzt mit 3: = und eine erneute Erweiterung zur Probe: =

 

Wir haben also richtig gekürzt.

 

Übe das Kürzen an weiteren Beispielen:

 

gekürzt mit 7: =und wieder zur Probe erweitern: =

 

Das Ergebnis entspricht dem Ausgangswert, nach dem Kürzen von mit 7 erhältst du das Ergebnis

 

2. Aufgabe zum Kürzen:

 

ist mit 11 zu kürzen.

 

=

 

Das Ergebnis ist zwar richtig, doch der Zähler und Nenner lassen sich bei sogar noch weiter kürzen. Erhältst du die Aufgabe mit 11 zu kürzen, dann stimmt das Ergebnis . Im Mathematikunterricht begegnet dir häufig die Aufforderung „Kürze so weit wie möglich“. In diesem Fall stimmt das Ergebnis nicht. Wenn du dir die Teiler von 66 und 99 durch die Primfaktorzerlegung, den Vergleich der Teilermengen oder im Euklidischen Algorithmus genau ansiehst, stellst du fest: 11 ist nicht der größte gemeinsame Teiler von 66 und 99. Hier ist es 33, durch welche beide Zahlen teilbar sind. Kürzen wir den Ausgangsbruch mit 33:

 

=

 

Achte also bei herkömmlichen Aufgaben zur Bruchrechnung immer darauf, dass du den größten gemeinsamen Teiler herausfindest und Zähler und Nenner durch ihn teilst. Das spart dir Zeit und falsche Ergebnisse.

 

Da das Kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler so wichtig ist, lösen wir dazu noch eine Aufgabe.

 

Finde den größten gemeinsamen Teiler und kürze:

 

 

Primfaktorzerlegung, Euklidischer Algorithmus und Vergleich der Teilermengen zeigen auf, dass 45 der größte gemeinsame Teiler von 720 und 945 ist. Dividiere:

 

= Weiter lässt sich der Bruch nicht kürzen.

 

Du erinnerst dich nicht daran, wie du den größten gemeinsamen Teiler findest? Ein Beispiel ist der Euklidische Algorithmus. Dividiere zunächst die größere Zahl durch die kleinere. Im Regelfall bleibt bei der ersten Division ein Rest übrig. Schreib ihn auf. Daraufhin dividierst du die kleinere Zahl durch den Rest. Bleibt weiter ein Rest, so dividierst du den vorherigen Rest durch den soeben errechneten bis kein Rest übrig bleibt. In dem Fall hast du den größten gemeinsamen Teiler gefunden.

 

945 : 720 = 1 Rest 225

720 : 225 = 1 Rest 45

225 : 45 = 5 Rest 0

 

Versuche es beim nachfolgenden Beispiel einmal selbst. Der Bruch lautet

Erneut wendest du den Euklidischen Algorithmus an:

 

820 : 416 = 1 Rest 404

416 : 404 = 1 Rest 12

404 : 12 = 33 Rest 8

12 : 8 = 1 Rest 4

8 : 4 = 2 Rest 0

 

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 416 und 820 ist 4. Dividiere den Ausgangsbruch durch 4:

 

=

3. Wann das Kürzen nicht durchführbar ist

Es gibt Situationen, in denen du einen Bruch nicht weiter kürzen kannst. Wenn du diese Sonderfälle kennst, ersparst du dir viel Arbeit:

 

  • Ein Kürzen von Brüchen mit einer 1 im Zähler ist nicht möglich
  • Befindet sich eine 1 im Nenner, ist das Kürzen auch unmöglich
  • Primzahlen in Zähler oder Nenner können nicht weiter gekürzt werden, da sie nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind
  • Sind die Zahlen im Zähler und Nenner nur durch 1 Zahl im Dezimalsystem unterschiedlich, kannst du nicht weiter kürzen
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