Brüche addieren


  • Es ist dreiviertel 12
  • Du isst ein Viertel einer Pizza
  • Ein Behälter ist zu 3/5 voll
  • In ½ h fährt dein Bus
  • Du hast 7 von 10 CDs (7/10)deiner Lieblingsband und willst noch mehr


Doch: Was bedeutet ein Bruch eigentlich? Wie sieht er aus?

Brüche bestehen aus einem Zähler, einem Bruchstrich und einem Nenner:

 

 

 

 

 



Der Zähler selbst stellt immer einen Teil eines Ganzen dar. Ein Viertel meint also nichts Anderes als „1 von 4“. Angenommen du verbringst deine Freizeit mit deinen Freunden. Deine Mutter sagte dir vorab, dass du maximal vier Stunden draußen bleiben darfst. Bei deinen Freunden angekommen, blickst du nach einer Weile auf die Uhr. Es ist bereits eine Stunde vergangen. Dann hast du eine von vier Stunden bereits mit deinen Freunden verbracht. Es bleiben drei von vier Stunden übrig. Ein Viertel eurer gemeinsamen Zeit ist also bereits vorüber.

Welcher Bruch auch immer vor dir liegt, stets ist der Zähler als Teil des Ganzen bzw. des Nenners zu betrachten. Trotzdem erfordern die unterschiedlichen Brüche Erklärungen:

  • Brüche, bei denen der Zähler kleiner ist als der Nenner
  • Brüche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner
  • Brüche, bei denen Zähler und Nenner eine identische Größe haben
  • Brüche mit dem Zähler 1
  • Brüche, die mit einer ganzen Zahl verbunden sind
  • Brüche, die in Dezimalzahlen ausgedrückt werden


Zu 1

Brüche mit kleinerem Zähler und größerem Nenner. Beispiele: , ,


In der Mathematik tragen die vorliegenden Brüche die Bezeichnung echte Brüche.


Zu 2

Brüche mit größeren Zähler und kleinerem Nenner. Beispiele: , ,


Diese Brüche stellen unechte Brüche dar.


Zu 3

Zähler und Nenner mit gleichen Zahlen. Beispiele: , ,


Da die Division einer Zahl durch sich selbst stets 1 ist, bezeichnet man diese Brüche als uneigentliche Brüche.


Zu 4

Brüche, deren Zähler 1 ist. Beispiele: , ,


Brüche dieser Art nennt der Mathematiker Stammbrüche.


Zu 5

Brüche mit ganzen Zahlen. Beispiele: , ,


Diese Brüche stellen gemischte Brüche dar.


Zu 6

Brüche ohne Bruchstrich in Form von Dezimalzahlen. Beispiele: 0,2, 0,66, 4,0

Hier haben wir es mit Dezimalbrüchen zu tun.

Für das Verständnis der nachstehenden Informationen ist es wichtig, dass du dir die unterschiedlichen Arten von Brüchen einprägst.

2. Brüche mit gleichen Nennern addieren

Wir hatten zu Beginn erwähnt, dass die Zähler Teile von den Nennern sind. Schauen wir uns nun Brüche in grafischer Darstellung an. Daraufhin beginnen wir mit der Addition von Brüchen.

 

 





Wir sehen hier eine rechteckige Fläche. Die Gesamtfläche – also das komplette Rechteck ist ein Ganzes, welches in drei gleich große Teilflächen unterteilt wird. Es sind also 3 von 3 Flächen

() vorhanden. Zwei von drei Flächen sind grau unterlegt (). Die dritte Fläche ist weiß. Ihre Flächengröße beträgt der kompletten Fläche. Addieren wir die Teilflächen miteinander, so erhalten wir

+ = = 1

Werfen wir einen intensiveren Blick auf die Aufgabe. Wir sehen, dass die Addition folgendermaßen abläuft:

  • Die einzelnen Zähler werden miteinander addiert
  • Die Nenner bleiben gleich


Das ist immer und bei allen Brüchen im Zusammenhang mit der Addition so, wenn sich die Nenner aller Brüche nicht voneinander unterscheiden. Bei gemischten Brüchen kommt noch die Addition ganzer Zahlen hinzu. Dazu aber an anderer Stelle mehr.

Ein weiteres Beispiel zur Addition echter Brüche mit gleichen Nennern und verschiedenen Zählern:

+ + = =


Bei diesem Beispiel sehen wir, dass das Ergebnis kleiner ist als 1, denn 12:17 < 1.


Wozu führen Brüche, die in ihrer Summe größer sind als 1?

+ = = = 1


Dieses Ergebnis musst du umwandeln. Beginne mit der Frage wie oft der Zähler in den Nenner passt. Die 19 passt einmal in die 23. Diese 1 ist unser Ganzes. Schreib sie als große Zahl hinter das Gleichheitszeichen. Von 19 zu 23 sind noch 4 übrig. Diese 4 bildet nun den Zähler, wohingegen 19 als Nenner steht.


Wie aber sieht es aus, wenn Brüche miteinander addiert werden sollen, die unterschiedliche Nenner haben?

3. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Bei unterschiedlichen Nennern kannst du keinen Nenner einfach beibehalten. Du musst hier anders vorgehen. Betrachten wir das nachstehende Beispiel:

+ = =


Wie du sehen kannst, bleiben die Nenner hier nicht gleich. Du bildest einen gemeinsamen Nenner, der den Namen Hauptnenner erhält. Der Hauptnenner ist in unserer Aufgabe 4. Wie kommst du zu diesem Hauptnenner?


Überlege dir, welche Zahlen gleichermaßen Vielfache aller Nenner sind? Wir haben in unserer Aufgabe die Nenner 2 und 4. Ein Vielfaches von 2 ist 4, die hier auch Hauptnenner ist. Theoretisch könntest du auch 8 als Vielfaches nehmen, denn 8 ist durch 2 und durch 4 teilbar. Gleiches trifft auf 12, 16, 20 und viele weitere Zahlen zu. Die 4 ist jedoch das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen. Wenn du sie als Hauptnenner nimmst, musst du am Ende nicht kürzen. Du vereinfachst dir also die Rechnung. Nun fragst du dich sicherlich wie du bei dem ersten Bruch

() auf den Nenner 4 und den Zähler 2 (siehe Ergebnis) kommst. Ganz einfach:


Multipliziere den Nenner mit der Zahl, die nötig ist, um den Hauptnenner zu erreichen. Von 2 zu 4 kommen wir, indem wir die 2 mal 2 nehmen. Eine Erweiterung des Nenners bringt auch eine Erweiterung des Zählers mit sich. Also multiplizierst du die 1 im Zähler ebenso mit der 2 und erhältst 2. Dein neuer Bruch mit

Hauptnenner lautet daher . Der zweite Bruch (). Jetzt können wir beide Brüche – wie oben angegeben – addieren, schließlich verfügen sie über einen gleichen Nenner.


Es ist wichtig, dass du diese Vorgehensweise beherrscht. Daher:

+


1. Nenner anschauen. Welches kleinste gemeinsame Vielfache haben beide Nenner?


2. Der Hauptnenner lautet hier 5 * 13 = 65


3. 1. Nenner: Multipliziere 5 mit 13. Du erhältst den Hauptnenner 65. Nun ist der Zähler 4 mit 13 zu multiplizieren. Du erhältst 52. Der erste Bruch lautet


4. 2. Nenner: Multipliziere 13 mit 5. Das Ergebnis ist der Hauptnenner 65. Anschließend multiplizierst du den Zähler 6 mit 5 und erhältst das Ergebnis 30. Der zweite Bruch lautet: .


Addiere:

+ = + = = 1


Wieder ist der erhaltene unechte Bruch in einen gemischten Bruch zu verwandeln.


Wie oft passt die 65 in die 82? Wie viel bleibt übrig? Richtig! Einmal passt die 65 in die 82. Schreib die 1 wieder vor den Bruch. Es bleiben 17 übrig. Sie bilden den Zähler und der Nenner bleibt mit 65 gleich.


Ein drittes Beispiel:

+ =


Die Vorgehensweise ist stets gleich:

1. Hauptnenner festlegen

2. Die Nenner mit dem Faktor multiplizieren, der zum Hauptnenner führt

3. Notwendige Faktoren mit den Zählern multiplizieren

4. Entstandene Brüche miteinander addieren

5. Gegebenenfalls einen unechten in einen gemischten Bruch umwandeln


Bei unserer Aufgabe:

1. Hauptnenner festlegen: Wir können der Einfachheit wegen 8 mit 5 multiplizieren und erhalten das Produkt 40. Gibt es ein kleineres gemeinsames Vielfaches? Nein!

2. Den Nenner 8 mit 5 multiplizieren, um den Hauptnenner 40 zu erhalten. Daraufhin den Nenner des zweiten Bruches (5) mit 8 multiplizieren. Das Ergebnis ist erneut 40.

3. Der erste Bruch: Nun den Zähler 7 mit 5 multiplizieren. Beim zweiten Bruch 8 mit 3 multiplizieren. Der Nenner 40 gilt für beide Brüche.

 

4. Wir erhalten: + =

 

5. Aus wird 1


4. Addition von gemischten Brüchen

3 + 4


Diese Aufgabe lässt sich ebenso einfach lösen wie die vorher dargestellten Bruchrechnungsaufgaben. An erster Stelle stehen hierbei die ganzen Zahlen 3 und 4. Ziehe sie zusammen, 7 ist dein Ergebnis. Nun geht es an die Brüche. Addiere si

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