Die Binomische Formeln (1, 2, 3) - endlich leicht erklärt!

Das Wort „Binom“ stammt aus dem Lateinischen und setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Seine Vorsilbe „bi“ meint stets ein zweigliedriges Gebilde. Beim Wort „nom“ handelt es sich um einen anderen Ausdruck für „Namen“. Ein Binom ist also ein zweigliedriges Gebilde, welches durch ein Additions- oder Subtraktionszeichen verbunden zu einer Einheit wird.

Als Glieder (in diesem Sinne als Monome bezeichnet) kommen neben Zahlen auch die in der Mathematik als Variablen bezeichneten Buchstaben vor.

Beispiele für Binome:


  • x + y
  • 5a – 3,6b

Binome in einer Klammer mit dem Exponenten (Hochzahl) 2 stellen Formen der ersten oder zweiten binomischen Formel dar.

Das Ganze sieht dann so aus:


  • (x + y)²
  • (5a – 3,6b)²


Die dritte binomische Formel unterscheidet sich optisch nur marginal von den anderen beiden Formeln, bspw. (a + b) * (a - b). Im Folgenden werden die drei binomischen Formeln erklärt. Die grafische Darstellung hilft das Gelesene zu verstehen und zu verinnerlichen. Wir beginnen mit:

Die 1. Binomische Formel

Die erste binomische Formel wird von Schülern aufgrund ihrer Einfachheit geschätzt. Sie enthält lediglich ein Additionszeichen. Daher gibt es keine Unklarheiten beim Ausklammern bezüglich diverser Vorzeichenregeln.


Schauen wir uns die Formel an:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Die 1. binomische Formel


Was zunächst kompliziert aussieht, ist mit ein wenig Logik schnell zu verstehen. Betrachten wir den Teil linksseitig des Gleichheitszeichens an:

 

(a + b)²

 

Dieser Teil stellt ein Quadrat dar. Die Quadratzahl befindet sich oberhalb der Klammer. Das bedeutet, dass der gesamte Klammerninhalt zweimal mit sich selbst zu multiplizieren ist. Diese Vorgehensweise kennen wir aus der Flächenberechnung. Angenommen: Du hast einen Raum mit einer Länge und einer Breite von jeweils 4m. Um den Flächeninhalt zu berechnen, multiplizierst du die Länge mit der Breite: 4m * 4m = 16m². Das Ergebnis stellt ein Quadrat dar und vor dir liegt ein Raum mit einer quadratischen Fläche. Die Hochzahl 2 deutet also immer auf ein Quadrat hin und Quadrate lassen sich hervorragend grafisch darstellen.

 

Doch wie verhält es sich mit einem Quadrat oberhalb einer Klammer? Sieh dir dazu das folgende Beispiel an:

 

Soeben erkannten wir: 4m * 4m = 16m²

 

Diese Multiplikation ließe sich auch folgendermaßen darstellen:

 

4m * 4m = (3m + 1m)²

 

Oder auch:

 

(0,5m + 2,5m)² und auf unzählige weitere Arten. Ihre Form gleicht der 1. Binomischen Formel. Im Folgenden wollen wir die 1. Binomische Formel mit a = 3m und b = 1m grafisch darstellen. Die geometrische Herleitung wird auch als ikonischer Beweis bezeichnet.

 

Wir haben wieder einen Raum. Nehmen wir an, es ist eine quadratische Gartenlaube der Raumlänge 4m.







Nun wollen wir die Seitenlängen zu à 4m so umformen, dass unser Quadrat in der Darstellung

(3m + 1m)² erscheint. Der Flächeninhalt und die Seitenlängen bleiben gleich. Nur kommt es hier dazu, dass die Seitenlängen nun nicht mehr 4m sondern (3m + 1m) sind:




Wir wissen also nun, dass sich die Seitenlängen in ihrer Gesamtheit nicht verändert haben. Lediglich eine Zerstückelung ist nun sichtbar. Aufgrund der Zerstückelung ist der Flächeninhalt nun (3m + 1m)². Wenn du noch einmal zum Anfang des Themas der 1. Binomischen Formel zurück gehst, fällt dir auf, dass wir lediglich den linken Teil des Gleichheitszeichens der 1. Binomischen Formel dargestellt haben. Wie aber kommen wir zu dem Teil auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens? Können wir diesen auch in einer Grafik sichtbar machen? Na klar!

 

(a + b)² = a² + 2ab + b²

 

Es genügt eine Kenntnis des Umgangs mit Klammern. Dann kannst du den linken Teil in den rechten umwandeln. Wir wissen, dass die Hochzahl 2 bedeutet, dass die vor ihr stehende Basis zweimal mit sich selbst multipliziert werden muss:

 

Aus:

 

5² wird demnach 5 * 5

 

Wichtig:

 

Steht der Exponent über einer Klammer, dann wird der gesamte Klammerninhalt mit sich selbst multipliziert:

 

5m² = 5m * m

 

Aber:

 

(5m)² = 5m * 5m = 25m²

 

Ebenso verhält es sich bei einem quadrierten Monom. Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert. Zur Vereinfachung geht man von links nach rechts vor. Der erste Summand der ersten Klammer wird mit dem ersten Summanden der zweiten Klammer multipliziert. Das Ergebnis schreibst du nieder. Der nächste Schritt besteht in der Multiplikation des ersten Summanden der ersten Klammer mit dem zweiten Summanden der zweiten Klammer. Daraufhin nimmst du den zweiten Summanden der ersten Klammer mit dem ersten Summanden der zweiten Klammer mal. Abschließend erfolgt die Multiplikation vom zweiten Summanden der ersten Klammer mit dem zweiten Summanden der zweiten Klammer:

 

(a + b)²   = (a + b) * (a + b)

                   = a*a + a*b + b*a + b*b            I (Zusammenfassen)

                   = a² + ab + ab + b²

                   = a² +2ab + b²

 

Das erhaltene Ergebnis stellt erneut verschiedene Glieder dar, wobei zweimal Quadrate vorkommen. Ließe sich das Ergebnis auch in unserer Zeichnung darstellen? Natürlich! Schauen wir uns die Darstellung der Formel ohne Zahlen an:



Sehen wir uns diese Zeichnung in Ruhe an. Sie besteht zunächst aus einem Quadrat der Seitenlänge (a + b). Berechnest du den Flächeninhalt, entstehen offenbar 4 Teilflächen. Ein genauer Blick auf die Zeichnung zeigt die Flächen auf und den Fakt, dass es sich um zwei Rechtecke des Flächeninhalts a*b = ab handelt. Weiterhin gibt es ein großes Quadrat zu a * a = a² und ein kleines Quadrat mit dem Flächeninhalt b². Addierst du die Größen der vier Flächen, erhältst du die Größe des Flächeninhalts des gesamten Quadrats. Es folgt ein Beispiel, in welchem die Seitenlängen in cm angegeben sind:



Umgerechnet in m ergeben sich die Seitenlängen a = 3m und b = 1m. Das Quadrat lässt sich aus

(3 + 1) * (3 + 1) oder aus 4 * 4 ermitteln. Wir wissen also, dass der Flächeninhalt 16m² sein muss.

 

Berechnen wir:

 

(3 + 1) * (3 + 1) = 3*3 + 3*1 + 1*3 + 1*1

                                  = 9 + 3 + 3 + 1

                                 = 16


Auch hier ergibt sich eine Fläche von 16m². Wir haben also richtig gerechnet. Laut der Zeichnung sehen wir nun auch, dass das erste Quadrat 9m², das kleine Quadrat 3m² und die beiden Flächen jeweils 3m² groß sind. Äquivalent dazu sind alle Formeln dieser Art zu berechnen:

 

(3m + 4z)² in Schritten:

 

1. Klammern nebeneinander schreiben

2. Jeden Summand der 1. Klammer mit jedem Summand der zweiten Summe multiplizieren

3. Zusammenfassen

4. Überprüfen

 

(3m + 4z)²

 

= (3m + 4z) * (3m + 4z)(1. Schritt)

= 3m * 3m + 3m * 4z + 4z * 3m + 4z * 4z (2. Schritt)

= 9m² + 12mz + 12mz + 16z² (3. Schritt)

= 9m² + 24mz + 16z² (Überprüfung bspw. anhand der Zeichnung)

 

Ein weiteres Beispiel:


(12g + 0,5)²


= (12g + 0,5) * (12g + 0,5);allign="center"(1. Schritt)

= 12g * 12 g + 12g * 0,5 + 0,5 * 12g + 0,5 * 0,5 (2. Schritt)

= 144g² + 6g + 6g + 0,25 (3. Schritt)

= 144g² + 12g + 0,25

Die 2. Binomische Formel

Die 2. Binomische Formel sieht der 1. ähnlich. Einziger Unterschied ist das Subtraktionszeichen anstelle des Additionszeichens:

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Die 2. binomische Formel


Doch genau das Subtraktionszeichen führt zu Veränderungen auf der rechten Seite der Formel. Erinnern wir uns an die Vorzeichenregeln im Zusammenhang mit der Multiplikation:

„-“ mal „-“ ergibt „+“

„-“ mal „+“ ergibt „-“

„+“ mal „-“ ergibt „-“

„+“ mal „+“ ergibt „+“


Dadurch: (a – b)² = (a – b) * (a – b)
                                      = a*a – a*b – a*b + b*b
                                      = a² – ab – ab + b²
                                      = a² – 2ab + b²

Wie aber sieht die grafische Darstellung aus?



Das Subtraktionszeichen scheint sich auf den ersten Blick nicht auf die grafische Darstellung aus zu wirken. Weit gefehlt!

Vergegenwärtigen wir uns erneut die Formel:

(a – b)² = a² – 2ab + b²


Wir sehen erneut zwei Quadrate unterschiedlicher Größe und zwei Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt. Da hier jedoch keine Addition vorliegt, müssen wir zuerst einmal wissen, welcher Teil innerhalb der zweiten binomischen Formel überhaupt zu berechnen ist. Ganz einfach! Du berechnest den Flächenanteil der grafischen Darstellung, in welchem (a – b)² steht. Unsere erste Erkenntnis ist, dass das Gesamtquadrat wieder Seitenlängen hat, die sich aus a und b zusammen setzen. Damit du das Quadrat mit der Bezeichnung (a – b)² erhalten kannst, sind die rechteckigen Flächen ab zu ziehen.

Das gesamte dir vorliegende Quadrat hat die Fläche A = a². Ziehst du nun die Flächen a*b ab, so tust du dies zweimal, da diese Fläche zweimal enthalten ist und du am Ende  (a – b)² als Fläche erhalten willst. Dabei kommt es jedoch zum doppelten Abzug der Fläche mit dem Inhalt b². Damit du tatsächlich (a – b)² bekommst, musst du diese Fläche am Ende wieder hinzu addieren.

Sehen wir uns Beispielaufgaben an. Auch hier gilt: Jedes Monom der ersten Klammer wird mit jedem Monom der zweiten Klammer mal genommen:

(2q – 5v)²  = (2q – 5v) * (2q – 5v)
                       = 2q * 2q – 2q * 5v – 5v * 2q + 5v * 5v
                       = 4q² – 10qv – 10qv + 25v²
                       = 4q² – 20qv + 25v²

Oder auch:

(z – 7w)² = (z – 7w) * ( z – 7w)
                    = z * z – z * 7w – z * 7w + 7w * 7w
                    = z² – 7wz – 7wz + 49w²
                    = z² – 14wz + 49w²

Die 3. Binomische Formel

Sie ist die außergewöhnlichste der binomischen Formeln. Hier kommt nämlich kein Quadrat vor. Dennoch haben wir es mit zwei zu multiplizierenden Klammern zu tun, die sich lediglich durch das in ihnen enthaltene Rechenzeichen voneinander unterscheiden.

(a + b) * (a – b)

Die 3. binomische Formel


Erneut führen wir die Multiplikation durch. Dabei bedienen wir uns der bekannten Regel: Jeder Summand der ersten Klammer ist mit jedem Summanden der zweiten Klammer zu multiplizieren.

Daraus ergibt sich:

(a + b) * (a – b) = a²- ab + ab – b²                    I (Zusammenfassen)
                                = a² – b²

Führen wir den ikonischen Beweis der 3. Binomischen Formel durch, so entdecken wir gravierende Unterschiede. Woran mag das liegen? Vergegenwärtige dir bitte das Aussehen der 1. und 2. Binomischen Formel. Sie unterscheiden sich durch das Vorhandensein eines Quadrats von der 3. Binomischen Formel. Daher führte uns ihr ikonischer Beweis unmittelbar zur Darstellung eines Quadrats und im Rahmen dessen zu seiner Berechnung. Bei der 3. Binomischen Formel kommt kein Quadrat vor. Du bildest von zwei sich unterscheidenden Klammern das Produkt. Das tust du auch bei der Berechnung von Rechtecken. Die Länge entspricht bei einem Rechteck niemals seiner Breite, denn dann wäre es ein Quadrat und kein Rechteck.

Daher bringt uns die grafische Darstellung der 3. Binomischen Formel zu einem Rechteck mit dem Flächeninhalt (a + b) * (a – b) und der Seitenlängen (a + b). Um die Seite (a – b) zu erhalten, muss von der Länge a der Wert für b abgezogen werden:



Was zunächst unübersichtlich und schwer nachvollziehbar scheint, ist im Grunde ganz einfach. Sieh dir dazu das nachstehende Quadrat an:



Das große Quadrat (die Gesamtfläche) hat die Seitenlängen a und demzufolge einen Flächeninhalt von A = a². In ihm ist ein kleineres Quadrat mit dem Flächeninhalt A(1) = b² eingeschlossen. Nun ist das kleinere Quadrat (b²) von dem größeren (a²) zu subtrahieren. Es verkleinert sich lediglich die Fläche – nicht aber die Seitenlänge. Es ergeben sich zwei Trapeze. Aneinander gelegt, werden sie zu einem Rechteck:



Auf der Zeichnung siehst du, dass das ursprüngliche Rechteck entstanden ist. Es hat eine Seitenlänge (a + b) und eine Seitenlänge (a – b).
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