Der Binomialkoeffizient

In diesem Artikel aus dem Bereich der Statistik erklären wir doch spielend einfach, was es mit dem Binomialkoeffizient auf sich hat. Inklusive einer Berechnung vom Binomialkoeffizienten und verständlichen Beispielen. 

Einführung: Das Pascalsche Dreieick 

Vielleicht erinnerst du dich noch an das 8. Schuljahr in Mathematik. Zu dieser Zeit erlerntest du das Rechnen mit den drei binomischen Formeln. In diesem Zusammenhang wird auch das Pascal'sche Dreieck eingeführt:

 

 

Wie du siehst, nehmen die Anzahl der Glieder pro Reihe zu. In der ersten Reihe steht nur 1 Glied (1). In der 7. Reihe sind es bereits 7: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Die oberste Reihe wird als 0. Reihe bezeichnet. Daraufhin folgen die Reihen in aufsteigender Reihenfolge (1, 2, 3, ...). Im äußeren Bereich und oben steht stets die 1. Wie kommt es zur Ermittlung der anderen Zahlen? Die einzelen Zahlen sind stets die Summe der sich über ihr befindenden Zahlen.

 

 

Welche Gesetzmäßigkeiten lassen sich für das Pasacl'sche Dreieck außerdem erkennen? Würde eine Linie senkrecht durch das Pascal'sche Dreieck führen und in der 1 der 0. Reihe enden, so wären beide Seite gleich. Das Pascal'sche Dreieck ist demnach symmetrisch.

 

Der Binomialkoeffizient wird allgemein als n über k ausgedrückt.

Optisch:

 

 

Wenn du den Binomialkoeffizienten berechnen willst, bedienst du dich einer Formel:

 

 

Wollen wir uns ein Zahlenbeispiel dazu anschauen:

 

 

Daraus entsteht:

 

 

Ein Blick auf das Pascal'sche Dreieck zeigt, dass die Zahl 10 die 4. Zahl in der 5. Stufe ist. Zahl 3 in der 5. Stufe errechnest du, indem du für k = 2 und für n = 5 einsetzt.

 

Für dich ist die Anwendung der Binomialkoeffizienten im Bereich der Wirtschaft nicht allzu wichtig, da sie vermehrt in der Kombinatorik eingesetzt wird. Von herausragender Bedeutung ist jedoch der Umgang mit Fakultäten, wie wir sie hier in Form von 5!, 3! gesehen haben.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Lotto

Vielleicht hast du auch schon einmal darüber nachgedacht wie schön ein finanziell sorgenfreies Leben wäre. Du hättest alles, was du dir erträumen würdest. Auch die Arbeit verringert sich auf ein Minimum oder du setzt dich von der Gesellschaft ab. So denken viele Menschen. Jene Gedanken bewegen sie zum Lotto. Mittlerweile weiß jeder, dass die Wahrscheinlichkeit einen Gewinn zu erzielen äußerst gering ist. Noch dazu gibt es neben den unzähligen Ankreuz-Möglichkeiten auch sehr viele Mitspieler. Das Lotto-Spiel soll daher an dieser Stelle den Abschluss des Themas Statistik/Wahrscheinlichkeitsberechnung bilden.

 

Wie viele Möglichkeiten gibt es eigentlich, beim Lotto-Spiel 6 richtige Kreuze + Superzahl zu setzen? Die Berechnung dazu ist einfach. Wissenswert für dich: Es handelt sich bei dem Lotto-Spiel um einen ungeordnete Stichprobe (6). Zurücklegen ist nicht möglich. Diese Faktoren beeinflussen die Rechnung:

 

 

Wie du dir aufgrund des vorherigen Abschnitts denken kannst, ist das Ergebnis gigantisch groß und die Wahrscheinlichkeit die 6 richtigen Kreute zu machen ist dementsprechend gering:

 

(49 * 48 * 47 *... * 2 * 1) : (43 * 42 * 41 * … * 2 * 1)

 

= 13983816.

 

Die Wahrscheinlichkeit im Spiel 6 aus 49 sechs Richtige + Superzahl zu erhalten, liegt bei 1/13983816. Sie ist damit so gering, dass Kenner derartiger Glücksspiele auf die Teilnahme verzichten und ihr Geld lieber an anderer Stelle anlegen.

 

Die Wahrscheinlichkeiten für die anderen Zahlen:

 

Gewinnklasse

Richtige Kreuze

Wahrscheinlichkeit

II

6

15.537.573,33

III

5 und Superzahl

542.008,37

IV

5

60.223,15

V

4 und Superzahl

10.323,97

VI

4

1.147,11

VII

3 und Superzahl

566,56

VII

3

62,95

 

Die Wahrscheinlichkeit einen 3-er zu bekommen, ist weit größer als die eines 6-ers. Trotzdem ist sie noch gering und die Gewinnwahrscheinlichkeit reine Glückssache. Hinzu kommt die Gewinnausschüttung. Wer einen 6-er hat, kann mit einem extrem hohen Betrag rechnen. Dieser variiert stark und ist von den Spielern im System abhängig. Umso mehr Spieler dabei sind, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie der einzige Spieler mit einem Sechser im Lotto sind. Außerdem gewinnen auch die unteren Klassen mit. Das bedeutet: Ihr Gewinn könnte bei genügend Mitspielern auch bei einem 6-er im Lotto gering sein.

 

Es gibt verschiedene Strategien, die Erfolg vermuten lassen. Einen Versuch ist es sicherlich Wert. Begeben Sie sich dazu auf die Internetseite Ihrer Lotto-Gesellschaft. Schauen Sie sich die Statistik zu den letzten Jahren an. Dort erfahren Sie alles über einzelne Spiele, Gewinnausschüttung und vor allem über die besonders häufig gezogenen Zahlen in den vergangenen Jahren bzw. seit Beginn des Lotto-Spiels. Ob Sie damit gewinnen, ist unklar – schließlich wird die Lottozahl heute nicht mehr manuell gezogen. Alles funktioniert automatisch über den Computer.

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