Die Bernoulli-Kette

---

Es gibt Versuche, die maximal zwei Ausgänge haben. Sie sind in der Statistik häufig vertreten. Ein Beispiel ist die Körpergröße und die Angabe größer oder kleiner als 160 cm. Weiterhin zählt auch der Münzwurf zu einem Versuch mit zwei möglichen Ausgängen. Andere ermitteln die Wahrscheinlichkeiten zu zwei Farben – bspw. schwarz oder weiß. Dann könntest du beim Rommé-Spiel nach geraden oder ungeraden Karten Ausschau halten. Diese Versuche verbindet etwas. Ihr Ausgang lässt sich auf gleiche Art errechnen. Daher fasst man solche Versuche als Bernoulli-Versuche auf. Werden derartige Versuche aneinander gereiht, ist von der sogenannten Bernoulli-Kette die Rede.

 

Sie lässt sich anhand einer Formel berechnen. Vorsicht! Die Bernoulli-Kette macht nur dann Sinn, wenn es zwei mögliche Ausgänge gibt. Allerdings darfst du nicht glauben, dass die Bernoulli-Kette generell bei Versuchen angewandt wird, welche maximal zwei Ausgänge bzw. Ereignisse haben können (bspw. eine Münze, deren Wurf nur zu Kopf ODER Zahl führen kann). Wenn du einen Würfel hast und betrachtest explizit das Ereignis 2, dann wendest du ebenfalls die Bernoulli-Kette an. Schließlich gilt: Entweder du würfelst eine 2 oder du würfelst keine. Wenn du aus einem Beutel mit gleichartigen Kugeln unterschiedlicher Farbe eine in weißer Optik entnehmen musst, dann hast du entweder eine weiße gezogen oder du hast keine weiße Kugel gezogen. Egal wie viele Ereignisse bei einem Versuch generell möglich sind (beim Würfel sind es 6), so betrachtest du bei der Bernoulli-Kette nur zwei Ausgänge (bspw. eine 2 gewürfelt oder eben nicht).

Ein Beispiel zur Verdeutlichung der Berechnung:

 

In einer Kiste befinden sich 9 Spielsteine gleicher Größe. Die identische Größe ist für die Wahrscheinlichkeitsberechnung sehr wichtig. Nicht gleichwertige Ereignisse führen zu falschen Schlüssen, zumindest wenn es um Form und Größe geht. Die 9 genannten Spielsteine unterscheiden sich in ihrer Kennzeichnung. 4 der 9 Spielsteine tragen die Aufschrift „Glück“. Die anderen 5 wurden mit der Bezeichnung „Liebe“ gekennzeichnet. Du möchtest gerne zwei Steine mit der Aufschrift „Liebe“ ziehen. Dafür hast du 5 Gelegenheiten. Bei jedem der 5 Züge legst du deinen Stein nach dem Ansehen wieder zurück in die Kiste.

 

P (x = 2) = (4/9 * 4/9 * 5/9 * 5/9 * 5/9) + (4/9 * 5/9 * 4/9 * 5/9 * 5/9) + (4/9 * 5/9 * 5/9 * 4/9 * 5/9) + (4/9 * 5/9 * 5/9 * 5/9 * 4/9) + (5/9 * 4/9 * 4/9 * 5/9 * 5/9) + …

= 33,87 Prozent (gerundet)

 

Natürlich kommst du so auf das gesuchte Ergebnis. Allerdings ist der Weg dorthin recht mühselig. Leichter geht es mit einer Formel:

 

Hier bedarf es einiger Erklärungen zu den Formvariablen, die sich in der Formel befinden. P drückt die Wahrscheinlichkeit aus. Welches Ereignis bei der Aufgabe untersucht werden soll, sagt x = k aus. Für k setzt du den Wert ein, der für deine Untersuchungen relevant ist. Du möchtest in fünf Versuchen 2 Steine mit der Aufschrift „Liebe“ aus der Kiste ziehen. Daher ist k = 2. Das darauf folgende Gebilde besteht aus einer Klammer und innen befinden sich die Variablen n und k übereinander. Dies stellt keinen Bruch dar (wichtig!). Das bedeutet, dass du diese Klammer rechnerisch nicht als Bruch behandeln kannst. Es handelt sich um einen Binomialkoeffizienten, der dir hier begegnet. Das „n“ im Binomialkoeffizienten gibt die Anzahl der Versuche an. Hier ist n = 5. Das kleine k unterhalb von n steht für die Ereignisse, die bedeutsam sind. Hier sind es zwei.

 

Setzen wir die erhaltenen Werte in die Formel, so ergibt sich folgende Aufgabe:

 

Nach Berechnung erhältst du das Ergebnis P = 33,87 Prozent. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit bei einem 5-fachen Ziehen mit Zurücklegen zwei Steine mit der Aufschrift „Liebe“ zu ziehen, liegt bei ca. 1/3. Mit der Formel lassen sich sämtliche Berechnungen innerhalb der Bernoulli-Kette durchführen. Für dich ist es wichtig, dass du weißt, was du an welcher Stelle einsetzen musst. Vergegenwärtige dir den Sinn der Formel.

 

Ein zweites Beispiel zur Festigung des Stoffes:

 

In einer Tüte befinden sich zehn Bonbons. Jedes erhielt eine individuelle Zahl. Der Zahlenbereich umfasst alle Zahlen von 1 bis 10. Drei Bonbons darfst du hintereinander aus der Tüte nehmen. Nach der Entnahme dokumentierst du dein Ergebnis und legst das Bonbon daraufhin in die Tüte zurück. Wir wollen herausfinden wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass du eine lediglich durch sich selbst teilbare Zahl ziehst (unabhängig von der 1) oder die Zahl 2.

Mögliche Ereignisse sind demzufolge: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

 

Die günstigen Ereignisse (Erfolge) stellen die Ereignisse 2, 3, 5, 7 dar.

 

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine der Zahlen in einem Durchgang zu ziehen?

 

P = 4/10 = 0,5

 

4/10 deshalb, weil uns genau 4 von 10 möglichen Ereignissen interessieren. Im Umkehrschluss bedeutet dass, dass uns 6 Ereignisse nicht interessieren. Die Wahrscheinlichkeit ein solches Ereignis zu erwischen, liegt bei P = 0,6. Ein Versuch besteht aus dem Ziehen von drei Bonbons (n = 3). Wir wollen die Wahrscheinlichkeit kennen gleich mehrfach (hier 2-mal) eine der genannten Zahlen zu ziehen, deshalb ist k = 2.

 

Erneut wenden wir die Formel an:

 

Mit Werten:

 

P (x = 2) = 28,8 %

 

Aufgaben dieser Art gibt es viele. Manchmal ist es auf den ersten Blick nicht ersichtlich, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt. Prüfe in diesem Fall genau, ob es nur zwei Ausgänge gibt (Erfolg und Niete). Weiterhin dürfen sich die Wahrscheinlichkeiten im Laufe der Bernoulli-Kette nicht ändern. Jeder Versuch mit Zurücklegen führt zu immer gleich bleibenden Wahrscheinlichkeiten. Das erscheint logisch.

 

Vor dir steht eine Urne, in welcher sich bunte Kugeln befinden. Jede hat eine eigene Farbe. Ziehst du eine Kugel heraus, schreibst ihre Farbe auf und legst sie erneut in die Urne, so hast du beim nächsten Zug die gleichen Wahrscheinlichkeiten. Legst du die Kugeln nicht zurück, so hat das Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeit. Diese Art Versuch zählt nicht zur Bernoulli-Kette. Ein Rad hat 60 Felder. Wird es gedreht, so bleibt der Zeiger bei einem der Felder stehen. Daraufhin wird das Rad nicht verändert. Auch beim zweiten, beim dritten und allen weiteren Versuchen bleibt die Anzahl der Felder gleich. Hier haben wir es mit einer Bernoulli-Kette zu tun. Voraussetzung ist natürlich, dass dich bestimmte Ereignisse interessieren und du andere völlig vernachlässigst.

Geschichte zur Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit hat sich binnen der letzten Jahre entwickelt, doch ist sie ihren Grundprinzipien treu geblieben. Maßgeblich beeinflusst wurde der Wahrscheinlichkeitsbegriff von Jakob Bernoulli und Pierre Simon de Laplace.

 

Jakob Bernoulli – ein Schweizer Mathematiker und Physiker – befasste sich vorwiegend mit dem Zufall und der Astronomie. Er ging von einer gewissen Sicherheit aus, dass bestimmte Ereignisse eintreten. Diese versuchte er zu berechnen und entwickelte ein System – die Bernoulli-Kette. Durch ihn bewegt sich die Wahrscheinlichkeit laut unserer heutigen Mathematik zwischen 0 und 1. Zu Anfang der Ausführungen hast du bereits die Information erhalten, dass die Zahl 0 prozentual ausgedrückt 0 Prozent bedeutet. 1 steht demzufolge für 100 Prozent. Alles, was dazwischen liegt ist größer 0 und kleiner 1. Liegt die Wahrscheinlichkeit bei 33 Prozent für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses, ist nach Bernoulli der Ausgang des Versuchs zu einem Teil von drei Teilen günstig, da 1/3 * 3 = 1. Man könnte sagen, dass Jakob Bernoulli die grobe Wahrscheinlichkeit begründete. Für die einzelnen Ereignisse lieferte Laplace eine präzisere Lösung.

 

Laplace konzentrierte sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln beispielsweise eine 4 erscheint. Der Wissenschaftler erkannte, dass gleichartige Elemente für das Berechnen von Einzelwahrscheinlichkeiten unabdingbar sind. Im Klartext: Wenn du die Wahrscheinlichkeit eines Sieges im Rennsport ermitteln willst, gehst du nicht von gleichartigen Elementen aus. Jeder Rennfahrer ist schließlich verschieden, sein Sieg hängt von vielen Faktoren ab: Tagesform, Kenntnisse im Fahren, Fahrzeug. Die Wahrscheinlichkeit wäre nur zu berechnen, wenn die Menschen über gleiche Kondition, Konzentration, das gleiche Fahrzeug usw. verfügen würden. Beim Würfeln, beim Roulette oder im Rahmen von Lotto- und anderen vergleichbaren Gewinnspielen sind alle Ergebnisse gleichartig und unterscheiden sich nur durch ein Merkmal. Sie eignen sich für den sogenannten Laplace-Versuch. Laplace ermittelte die Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen zu gewinnen. Roulette verfügt über 36 Zahlen, die Rouge oder Noir zugeordnet werden. Als 37. Zahl gibt es eine grüne 0. 37 Zahlen kommen vor. Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte zu erhalten (unabhängig davon welche) ist immer bei 1/37. Wichtig: Ereignis und Gegenereignis ergeben in ihrer Summe immer 1 = 100 %. Beim Roulette und der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zahl gilt: 1/37 + 36/37 = 1.

 

Es gibt natürlich weitaus mehr als nur Laplace-Experiment und Bernoulli-Kette. Wenn du beispielsweise in eine Urne mit 10 Kugeln greifst und diese Urne 5 weiße und 5 schwarze Kugeln enthält, möchtest du wissen, wie oft du eine Kugel (nach Wahrscheinlichkeitsberechnung) mindestens ziehen musst, um eine schwarze in der Hand zu halten. Wie oft das ist, kannst du mit der Berechnung von Laplace nicht ermitteln. Dann brauchst du die Axiome von Kolmogoroff.

 

Beachte: Der Ergebnisraum sind hier nicht die Kugeln sondern die Anzahl der Versuche. Diese Zahl kann bei 1 liegen (wenn du beim ersten Versuch eine schwarze Kugel ziehst) oder bei 100 und mehr. Omega besteht demzufolge aus der Menge der natürlichen Zahlen.

 

Haben alle Ergebnisse bei einer solchen Aufgabe die gleiche Wahrscheinlichkeit? Nein! Bei einem Wurf liegt die Wahrscheinlichkeit bei P = 0,5 oder 50 %. Unwahrscheinlich ist es hingegen, dass du 100-mal Kugeln entnimmst und dann erneut keine schwarze Kugel gezogen hast. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit bei einem Zug eine schwarze Kugel zu erhalten ist größer als jene nach 100 Ziehungen. Die Erklärungen zu den Axiomen von Kolmogoroff würden an dieser Stelle zu weit führen, weswegen sie nur am Rande Erwähnung finden sollen.

---