Assoziativgesetz

Mit verschiedenen Rechengesetzen kannst du dir die Berechnung zahlreicher Aufgaben erleichtern und so schneller und mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit auftretender Fehler zum richtigen Ergebnis kommen. Dazu sind Regeln nötig. Erst einmal beschäftigen wir uns ein wenig mit der Theorie. Sobald du sie verinnerlicht hast, wirst du merken, dass Gesetzmäßigkeiten einen hohen Nutzen haben. Eines dieser Rechengesetze ist das sogenannte Assoziativgesetz.

Der Name entspringt dem Lateinischen und ist verwandt mit dem Verb associare, was so viel wie „verbinden“ heißt. Und genau dafür steht das Assoziativgesetz oder auch Verbindungsgesetz. Wenn du es anwendest, verbindest du geschickt unterschiedliche Glieder und bildest daraus auf besonders einfache Art und Weise Summe oder Produkt. Das Assoziativgesetz gilt also gleichsam für die Multiplikation wie für die Addition. Doch Achtung! Im Rahmen von Division und Subtraktion kannst du es nicht anwenden.

Assoziativgesetz in der Addition

Die allgemeine Form des Assoziativgesetzes: a + (b + c) = (a + b) + c

Sicherlich hast du bereits Additionsaufgaben mit zahlreichen Summanden gesehen. Wenn du dann weder Blatt noch Stift zur Hand hast und auch kein Taschenrechner verfügbar ist, musst du die einzelnen Summanden mühselig miteinander addieren. Ein Beispiel für eine solche Aufgabe siehst du hier:

346 + 512 + 254 + 88 + 127

Erspare dir Zeit und gehe die Aufgabe nicht blindlings an. Arbeite strukturiert. Du kannst die einzelnen Summanden miteinander verbinden. Dazu musst du wissen:

Sind in einer Additionsaufgabe lediglich Additions- und keine anderen Rechenzeichen vorhanden, kannst du die einzelnen Glieder durch geschicktes Verbinden miteinander addieren. Dabei spielt es keine Rolle, welche Summanden du zuerst berechnest.

a+ b + c = b + (a + c) = c + (a + b)

In Zahlen ausgedrückt:

3 + 4 + 5 = 4 + (3 + 5) = 5 + (3 + 4)

Bei einer solch einfachen Aufgabe ist das Assoziativgesetz nicht erforderlich. Dennoch kommt es an dieser Stelle bereits im Grundschulunterricht zum Einsatz – obgleich es hier nur selten als Assoziativgesetz bezeichnet wird.

Wollen wir an einer komplizierteren Additionsaufgabe sehen, worin der Sinn des Assoziativgesetzes besteht:

27 + 84 + 73 + 16 + 45

Mit ein wenig Kopfrechenarbeit lässt sich dieses Konstrukt schnell lösen – keine Frage. Doch geht es noch einfacher als die Summanden von links nach rechts miteinander zu addieren. Bilden wir geschickte Teilsummen, indem wir sinnvoll kombinieren. Schließlich wissen wir, dass wir alle Glieder nach Belieben verbinden können und das Ergebnis stets gleich bleibt.

27 + 84 + 73 + 16 + 45 = (27 + 73) + (84 + 16) + 45
= 100 + 100 + 45
= 245

Wie konnten wir das Ergebnis erhalten? Gibt es ganze Zehner, Hunderter, Tausender in der Rechnung?



Bsp.: 10 + 25 + 47 + 900 = (900 + 10) + 45 + 47

Tipp: Ganze Zehner, Hunderter, Tausender kannst du ganz schnell addieren. Häufig stellt ihr Vorhandensein ein Glücksfall dar. In der Regel hast du es mit unterschiedlichen Einern in Zehnern und Hundertern zu tun. Um solche Aufgaben zu berechnen, legst du deinen Fokus besonders auf die Einer. Versuche innerhalb der Summanden Einer zu finden, die sich zu einem Zehner addieren lassen.

Bsp.: 17 + 13 + 34

Die Einer 7 und 3 addierst du miteinander zu einem neuen Zehner. Es bleiben keine Einer übrig.

Du erhältst: 30 + 34 = 64

Und nun werfen wir einen Blick auf eine andere Additionsaufgabe und schauen uns die unterschiedlichen Möglichkeiten der Ermittlung des Ergebnisses an (mit der Klammer beginnen):

(3 + 7) + 16 = 10 + 16 = 26
(3 + 16) + 7 = 19 + 7 = 26
(16 + 7) + 3 = 23 + 3 = 26

Aus dem Beispiel wird ersichtlich, dass die erste Variante besonders günstig ist und Zeit einspart.

In einem weiteren Beispiel musst du die zueinander passenden Einer erst finden. Gehe dabei sorgfältig vor. In der Mathematik ist nichts so wichtig wie die Überprüfung der Berechnung.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

Wir bilden Zehner:

(1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 = 10 + 10 + 10 + 10 + 5
= 45

Beispiele dafür, warum das Assoziativgesetz für Rechenaufgaben mit Subtraktions- und Divisionszeichen nicht gilt und auch für Aufgaben mit verschiedenen Rechenzeichen nicht gültig ist:

5 + 7 * 4 ≠ 4 * (5 + 7)

denn (ausgerechnet)

5 + 28 ≠ 4 * 12
33 ≠ 48

Weiterhin ist:

5 + 7 * 4 ≠ 5 * (7 + 4)

denn (ausgerechnet)

5 + 28 ≠ 5 * 11
33 ≠ 55

Auch im Rahmen von Subtraktionsaufgaben funktioniert das Assoziativgesetz nicht:

28 – (8 – 3) ≠ 28 – 8 – 3
28 – 5 ≠ 20 – 3
23 ≠ 17

Wichtige Rechenregeln:

  • Immer zuerst Klammerninhalt berechnen
  • Punktrechnung geht vor Strichrechnung
  • Vorzeichenregeln beachten

Das Assoziativgesetz der Multiplikation

Wie bereits erwähnt, gilt das Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation – nicht aber für Division und Subtraktion.

Liegt dir eine Aufgabe vor, in welcher ausschließlich Faktoren vorhanden sind, kannst du das Assoziativgesetz anwenden. Natürlich achtest du hier nicht darauf, dass du die Einer zu einem Zehner, die Zehner zu einem Hunderter usw. addieren kannst. Du gehst anders vor:

5 * 7 * 2

Durch geschicktes Kombinieren erhältst du:

5 * 2 * 7

Und berechnest:

10 * 7 = 70

Auch hier geht es wieder darum, dass du abwägst und dabei feststellst, dass Zehner, Hunderter und Tausender einfacher zu multiplizieren sind.

Schauen wir uns die Einfachheit der Berechnung von Aufgaben an und blicken wir gleichsam auf ungünstige Vorgehensweisen innerhalb der Berechnung:

5 * 26 * 20

Wenn du nun zunächst 5 * 26 berechnest, ist diese Rechnung schwieriger als 5 * 20. Konzentriere dich also auch hier auf Zehner, Hunderter, Tausender.

Rechne aus:

5 * 26 * 20

= 5 * 20 * 26
= 100 * 26
= 2600

13 * 20 * 5 * 7

= 20 * 5 * 13 * 7
= 100 * 13 * 7
= 1300 * 7
= 9100
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Der Artikel "Das Assoziativgesetz" befindet sich in der Kategorie: Kaufmännisches Rechnen

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